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Das Problem der Kurvenanpassung

Das Balancieren der Ansprüche der Einfachheit und der Genauigkeit

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Jens Paulßen

Gibt es ein verlässliches Entscheidungskriterium für die Wahl des Kurventyps bei einer Kurvenanpassung? Lässt sich Ockhams Rasiermesser vermittels dieses Kriteriums rechtfertigen? Existiert für dieses Kriterium eine wissenschaftstheoretische Rechtfertigung? Diese Fragen bilden das Zentrum des Problems der Kurvenanpassung. In dieser Arbeit werden die Lösungsansätze von Turney sowie Forster und Sober analysiert. Dabei werden gewisse Schwächen der Konzepte herausgearbeitet. Der Kern der Arbeit besteht aus der Entwicklung eines alternativen Lösungskonzepts, dessen Verlässlichkeit durch die bereits zuvor zur Analyse der bekannten Konzepte durchgeführten Computersimulationen aufgezeigt wird und das sich darüber hinaus wissenschaftstheoretisch rechtfertigen lässt. Forsters und Sobers Konzept basiert auf dem Akaike Information Criterion (AIC). Das hier entwickelte Konzept basiert hingegen auf dem Bayes Information Criterion (BIC). In dieser Arbeit werden abschließend erneute Computersimulationen durchgeführt, mithilfe derer die Qualität der bislang verwendeten Kriterien (AIC, BIC und Kreuzvalidierung) für den Fall kleiner Datenmengen analysiert werden.

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2. Grundlagen

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2.1. Formale Grundlagen In diesem Kapitel werden die formalen Grundlagen dargestellt, die im weiteren Verlauf der vorliegenden Arbeit noch von Bedeutung sein werden. Der Ausgangs- punkt dabei ist der Begriff der Funktion. Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge M genau ein Element y einer Zielmenge N zu. In Zeichen: f : M→ N, x 7→ y. Sind die Definitionsmenge und die Zielmenge im Kontext klar, so ist auch die folgende Schreibweise üblich: y = f (x). Diese Schreibweise verdeutlicht in noch stärkerem Maße die Abhängigkeit des y-Wertes von dem x-Wert. Daher wird x auch die unabhängige Variable und y die (von x) abhängige Variable genannt. Der Begriff der Funktion kann dabei auch mengentheoretisch definiert werden. So ist eine Funktion f , die die Elemente einer Menge M auf die Elemente einer Menge N abbildet, eine Menge mit folgenden Eigenschaften: • f ⊆M×N = {(x,y) | x ∈M∧ y ∈ N}, das heißt f ist eine Relation. • Für jedes Element x aus M existiert genau ein Element y aus N, sodass das Paar (x,y) ein Element der Relation f ist. Die Menge G f mit G f = {(x,y) | (x,y) ∈M×N und y = f (x)} wird als als Graph der Funktion f bezeichnet. 18 2. Grundlagen Im Kontext der vorliegenden Arbeit spielen vor allem Funktionen eine Rolle, die von den reellen Zahlen beziehungsweise von Teilmengen dieser in die reellen Zahlen abbilden, das heißt f : D→ R, für D⊆ R beziehungsweise f...

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