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Das Problem der Kurvenanpassung

Das Balancieren der Ansprüche der Einfachheit und der Genauigkeit

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Jens Paulßen

Gibt es ein verlässliches Entscheidungskriterium für die Wahl des Kurventyps bei einer Kurvenanpassung? Lässt sich Ockhams Rasiermesser vermittels dieses Kriteriums rechtfertigen? Existiert für dieses Kriterium eine wissenschaftstheoretische Rechtfertigung? Diese Fragen bilden das Zentrum des Problems der Kurvenanpassung. In dieser Arbeit werden die Lösungsansätze von Turney sowie Forster und Sober analysiert. Dabei werden gewisse Schwächen der Konzepte herausgearbeitet. Der Kern der Arbeit besteht aus der Entwicklung eines alternativen Lösungskonzepts, dessen Verlässlichkeit durch die bereits zuvor zur Analyse der bekannten Konzepte durchgeführten Computersimulationen aufgezeigt wird und das sich darüber hinaus wissenschaftstheoretisch rechtfertigen lässt. Forsters und Sobers Konzept basiert auf dem Akaike Information Criterion (AIC). Das hier entwickelte Konzept basiert hingegen auf dem Bayes Information Criterion (BIC). In dieser Arbeit werden abschließend erneute Computersimulationen durchgeführt, mithilfe derer die Qualität der bislang verwendeten Kriterien (AIC, BIC und Kreuzvalidierung) für den Fall kleiner Datenmengen analysiert werden.

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3. Das Theorem von TURNEY

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3.1. Parameteranzahl und Einfachheit In seinem 1990 veröffentlichten Artikel The curve fitting problem: a solution [46] setzt Peter TURNEY genau wie später auch Malcolm FORSTER und Elliott SO- BER, deren Artikel How to tell when simpler, more unified, or less ad hoc theories will provide more accurate predictions [15] noch intensiv in Kapitel 4 behandelt wird, ebenfalls auf das Einfachheitsmaß der (kleinsten) Anzahl der die Kurve de- terminierenden Parameter. Im Gegensatz zu FORSTER und SOBER führt TURNEY jedoch Gründe an, die seiner Meinung nach für dieses Einfachheitsmaß sprechen. Ausgangspunkt für TURNEYs Argument ist eine Passage aus dem Lehrbuch der Regressionsanalyse Applied regression analysis [11] von Norman R. DRAPER und Harry SMITH: „Suppose we wish to establish a linear regression equation for a particu- lar response Y in terms of the basic ’independent’ or predictor variables X1,X2, . . . ,Xk. Suppose further that Z1,Z2, . . . ,Zr, all functions of one or mo- re of the X ′s, represent the complete set of variables from which the equation is to be chosen and that this set includes any functions, such as squares, cross products, logarithms, inverses, and powers thought to be desirable and ne- cessary. Two opposed criteria of selecting a resultant equation are usually involved: (1) To make the equation useful for predictive purposes we should want our model to include as many Z′s as possible so that reliable fitted values can be determined. (2) Because of the costs involved in obtaining information on large...

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