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Das Problem der Kurvenanpassung

Das Balancieren der Ansprüche der Einfachheit und der Genauigkeit

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Jens Paulßen

Gibt es ein verlässliches Entscheidungskriterium für die Wahl des Kurventyps bei einer Kurvenanpassung? Lässt sich Ockhams Rasiermesser vermittels dieses Kriteriums rechtfertigen? Existiert für dieses Kriterium eine wissenschaftstheoretische Rechtfertigung? Diese Fragen bilden das Zentrum des Problems der Kurvenanpassung. In dieser Arbeit werden die Lösungsansätze von Turney sowie Forster und Sober analysiert. Dabei werden gewisse Schwächen der Konzepte herausgearbeitet. Der Kern der Arbeit besteht aus der Entwicklung eines alternativen Lösungskonzepts, dessen Verlässlichkeit durch die bereits zuvor zur Analyse der bekannten Konzepte durchgeführten Computersimulationen aufgezeigt wird und das sich darüber hinaus wissenschaftstheoretisch rechtfertigen lässt. Forsters und Sobers Konzept basiert auf dem Akaike Information Criterion (AIC). Das hier entwickelte Konzept basiert hingegen auf dem Bayes Information Criterion (BIC). In dieser Arbeit werden abschließend erneute Computersimulationen durchgeführt, mithilfe derer die Qualität der bislang verwendeten Kriterien (AIC, BIC und Kreuzvalidierung) für den Fall kleiner Datenmengen analysiert werden.

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4. AIC-Statistik

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Im Jahre 1994 veröffentlichten Malcolm FORSTER und Elliott SOBER den Artikel How to tell when simpler, more unified, or less ad hoc theories will provide mo- re accurate predictions [15]. In diesem Artikel geben die Autoren nach eigenem Bekunden eine Lösung des Problems der Kurvenanpassung: „In this paper, we describe a result due to Akaike, which shows how the data can underwrite an inference concerning the curve’s form based on an estimate of how predictively accurate it will be.“ ([15]: 1) Die wesentlichen Begriffe in ihrem Konzept sind die Begriffe des geschätzten Ab- stands zur wahren Kurve und der geschätzten Voraussagegenauigkeit. Die mathe- matische Grundlage für dieses Konzept bildet das von dem Statistiker AKAIKE entwickelte AKAIKE Information Criterion (AIC). In diesem Kapitel werde ich FORSTERs und SOBERs Resultate vorstellen. Dabei werde ich über den von ihnen dargestellten Rahmen hinaus gehen und besonderes Augenmerk auf die Grund- lagen des AIC legen, denn hierauf gründen einige Probleme in FORSTERs und SOBERs Konzept, die ich anschließend diskutieren werde. Darüberhinaus wer- den Computersimulationen durchgeführt, um das FORSTER’sche und SOBER’sche Konzept mittels simulierter Anwendungsbeispiele zu testen. 4.1. Das AKAIKE-FORSTER-SOBER-Theorem In FORSTERs und SOBERs Ausarbeitung werden im Wesentlichen zwei Funktio- nenfamilien beispielhaft miteinander verglichen, nämlich die Familie LIN der li- nearen Funktionen und die Familie PAR der quadratischen Funktionen. Ich gebe an dieser Stelle gleich die Notationen inklusive des Fehlerterms an: LIN Y = α0+α1X +σU PAR Y = α0+α1X +α2X2+σU Wie üblich...

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