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Das Problem der Kurvenanpassung

Das Balancieren der Ansprüche der Einfachheit und der Genauigkeit

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Jens Paulßen

Gibt es ein verlässliches Entscheidungskriterium für die Wahl des Kurventyps bei einer Kurvenanpassung? Lässt sich Ockhams Rasiermesser vermittels dieses Kriteriums rechtfertigen? Existiert für dieses Kriterium eine wissenschaftstheoretische Rechtfertigung? Diese Fragen bilden das Zentrum des Problems der Kurvenanpassung. In dieser Arbeit werden die Lösungsansätze von Turney sowie Forster und Sober analysiert. Dabei werden gewisse Schwächen der Konzepte herausgearbeitet. Der Kern der Arbeit besteht aus der Entwicklung eines alternativen Lösungskonzepts, dessen Verlässlichkeit durch die bereits zuvor zur Analyse der bekannten Konzepte durchgeführten Computersimulationen aufgezeigt wird und das sich darüber hinaus wissenschaftstheoretisch rechtfertigen lässt. Forsters und Sobers Konzept basiert auf dem Akaike Information Criterion (AIC). Das hier entwickelte Konzept basiert hingegen auf dem Bayes Information Criterion (BIC). In dieser Arbeit werden abschließend erneute Computersimulationen durchgeführt, mithilfe derer die Qualität der bislang verwendeten Kriterien (AIC, BIC und Kreuzvalidierung) für den Fall kleiner Datenmengen analysiert werden.

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9. Computersimulationen V: Modellwahl im Falle kleiner Datenmengen

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In Kapitel 8 wurde dargestellt, dass es sich bei den von SHAO in [39] aufgezeigten Äquivalenzen vom AIC und der Leave-One-Out-Kreuzvalidierung sowie vom BIC und der Delete-d-Kreuzvalidierung um asymptotische Äquivalenzen handelt. Dies bedeutet, dass die zugrunde liegende Datenmenge hinreichend groß sein muss, damit die erwähnten Modellwahlkriterien entsprechend äquivalente Ergebnisse er- bringen, im Kontext der vorliegenden Arbeit also zum gleichen Kurventyp führen. Darüberhinaus wurde in den Kapiteln 4.4 und 7.1 dargestellt, wie man auf Basis einer Schätzung der Varianz der Fehlerverteilung um den wahren Zusammenhang mittels der nicht-korrigierten Stichprobenvarianz zu Formeln für das AIC und das BIC gelangen kann, die nicht mehr von der Fehlervarianz um den tatsächlichen Zusammenhang abhängen. Dabei ist wesentlich, dass die nicht-korrigierte Stich- probenvarianz natürlich von der Bestapproximation des betrachteten Kurventyps abhängt. Stellt man die Frage nach der Verlässlichkeit des AIC und des BIC, so muss also - unter anderem - gefragt werden, wie verlässlich denn derartige Vari- anzschätzungen sind. In diesem Kapitel wird herausgearbeitet, dass die beiden angeführten Bereiche (hinreichende Größe der Datenmenge zum Nachweis der asymptotischen Äquiva- lenz versus Verlässlichkeit der Varianzschätzung) eine konzeptionelle Verbindung aufweisen. Als Ausgangspunkt dienen erneut die Simulationsalgorithmen, die bereits in den Kapiteln 5.2 und 7.2 entwickelt wurden. Zunächst werden diese Simulationen für das AIC und das BIC auf Basis der Schätzung der Fehlervarianz um dem tatsächli- chen Zusammenhang durch die nicht-korrigierte Stichprobenvarianz für sehr klei- ne Datenmengen wiederholt. 188...

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