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Das Problem der Kurvenanpassung

Das Balancieren der Ansprüche der Einfachheit und der Genauigkeit

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Jens Paulßen

Gibt es ein verlässliches Entscheidungskriterium für die Wahl des Kurventyps bei einer Kurvenanpassung? Lässt sich Ockhams Rasiermesser vermittels dieses Kriteriums rechtfertigen? Existiert für dieses Kriterium eine wissenschaftstheoretische Rechtfertigung? Diese Fragen bilden das Zentrum des Problems der Kurvenanpassung. In dieser Arbeit werden die Lösungsansätze von Turney sowie Forster und Sober analysiert. Dabei werden gewisse Schwächen der Konzepte herausgearbeitet. Der Kern der Arbeit besteht aus der Entwicklung eines alternativen Lösungskonzepts, dessen Verlässlichkeit durch die bereits zuvor zur Analyse der bekannten Konzepte durchgeführten Computersimulationen aufgezeigt wird und das sich darüber hinaus wissenschaftstheoretisch rechtfertigen lässt. Forsters und Sobers Konzept basiert auf dem Akaike Information Criterion (AIC). Das hier entwickelte Konzept basiert hingegen auf dem Bayes Information Criterion (BIC). In dieser Arbeit werden abschließend erneute Computersimulationen durchgeführt, mithilfe derer die Qualität der bislang verwendeten Kriterien (AIC, BIC und Kreuzvalidierung) für den Fall kleiner Datenmengen analysiert werden.

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A. Repräsentativität

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Bei der Kurvenanpassung geht es um das Herausfinden eines funktionalen Zu- sammenhangs zwischen einer oder mehreren unabhängigen Größen und einer ab- hängigen Größe. Die regressionsanalytischen Untersuchungen basieren auf einer vorliegenden Datenmenge. Die Aufgabe besteht dann darin, auf Basis dieser endli- chen Datenmenge auf den wahren Zusammenhang zu schließen. Ist die Datenmen- ge nun zufälligerweise derart, dass sie lediglich unzureichende Informationen über den wahren Zusammenhang beinhaltet, so ist solch ein Schluss auf den wahren Zu- sammenhang nicht möglich. In der Statistik sagt man daher, dass die Datenmenge repräsentativ sein müsse und baut dann die weitere Theorie auf dieser Forderung auf. Doch was genau ist eigentlich damit gemeint? Was ist denn eigentlich Reprä- sentativität? Statistik-Lehrbücher geben hierüber so gut wie keinen Aufschluss, denn obwohl die Repräsentativität von Datenmengen ein zentraler Begriff in der Inferenzstatistik ist, ist es kein formal-statistischer Begriff. So findet sich beispiels- weise in dem Sachregister des bekannten Statistik Lehrbuches Statistik - Der Weg zur Datenanalyse von Ludwig FAHRMEIER, Rita KÜNSTLER, Iris PIGEOT und Gerhard TUTZ keinerlei Eintrag zum Begriff der Repräsentativität. In dem Lehr- buch Statistik für Sozialwissenschaftler von Jürgen BORTZ findet sich hingegen im Sachregister ein Eintrag dazu. An der entsprechenden Stelle im Text findet sich jedoch auch keine formale Definition, sondern nur eine recht vage Umschreibung: „Eine Stichprobe stellt eine Teilmenge aller Untersuchungseinheiten dar, die die untersuchungsrelevanten Eigenschaften der Grundgesamtheit mög- lichst genau abbilden soll. Eine...

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