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Das Problem der Kurvenanpassung

Das Balancieren der Ansprüche der Einfachheit und der Genauigkeit

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Jens Paulßen

Gibt es ein verlässliches Entscheidungskriterium für die Wahl des Kurventyps bei einer Kurvenanpassung? Lässt sich Ockhams Rasiermesser vermittels dieses Kriteriums rechtfertigen? Existiert für dieses Kriterium eine wissenschaftstheoretische Rechtfertigung? Diese Fragen bilden das Zentrum des Problems der Kurvenanpassung. In dieser Arbeit werden die Lösungsansätze von Turney sowie Forster und Sober analysiert. Dabei werden gewisse Schwächen der Konzepte herausgearbeitet. Der Kern der Arbeit besteht aus der Entwicklung eines alternativen Lösungskonzepts, dessen Verlässlichkeit durch die bereits zuvor zur Analyse der bekannten Konzepte durchgeführten Computersimulationen aufgezeigt wird und das sich darüber hinaus wissenschaftstheoretisch rechtfertigen lässt. Forsters und Sobers Konzept basiert auf dem Akaike Information Criterion (AIC). Das hier entwickelte Konzept basiert hingegen auf dem Bayes Information Criterion (BIC). In dieser Arbeit werden abschließend erneute Computersimulationen durchgeführt, mithilfe derer die Qualität der bislang verwendeten Kriterien (AIC, BIC und Kreuzvalidierung) für den Fall kleiner Datenmengen analysiert werden.

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C. Zur asymptotischen Äquivalenz von Modellwahlkriterien

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Bereits im Jahre 1976 veröffentlichte M. STONE einen Aufsatz mit dem Titel An Asymptotic Equivalence of Choice of Model by Cross-validation and Akaike’s Cri- terion [45]. Dieser Aufsatz kann als eine Art Vorstufe des Aufsatzes An Asymptotic Theory for Linear Model Selection [39] von SHAO aus dem Jahr 1997 aufgefasst werden, denn STONEs Analysen, die auf einem Vergleich der Kreuzvalidierung und des AIC beschränkt waren, wurden auf weitere Modellwahlkriterien - und hier vor allem auch auf das BIC - ausgedehnt. STONE zeigt in [45], dass sich die Leave-One-Out-Kreuzvalidierung asymptotisch wie das AIC verhält, sie also asymptotisch äquivalent sind. Der zentrale Begriff bei diesem Nachweis ist der Begriff der stochastischen Konvergenz. Dabei heißt eine Folge Xn von Zufallsvariablen stochastisch konvergent gegen eine Zufallsvariable X (in Zeichen: Xn p−→ X), falls gilt: ∀ε > 0 : lim n→∞P(|Xn−X |> ε) = 0. Eine Folge Xn von Zufallsvariablen konvergiert also genau dann stochastisch gegen eine Zufallsvariable X , wenn die Wahrscheinlichkeit, dass sich Xn und X absolut um mehr als ein beliebiges ε > 0 unterscheiden, für ein gegen unendlich streben- des n gegen Null geht. Im Kontext der vorliegenden Arbeit bedeutet dies also, dass für einen Nachweis einer derartigen aysmptotischen Äquivalenz eine unend- lich große Datenmenge vorliegen muss. In diesem Fall führen die Leave-One-Out- Kreuzvalidierung und das AIC zu einer Wahl des gleichen Kurventyps. Wie bereits in Kapitel 8.3 der vorliegenden Arbeit dargestellt wurde, wird dabei die Fehler- varianz relativ zur Bestapproximation der betrachteten Funktionenfamilie mittels eines Quotienten geschätzt,...

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