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Das Problem der Kurvenanpassung

Das Balancieren der Ansprüche der Einfachheit und der Genauigkeit

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Jens Paulßen

Gibt es ein verlässliches Entscheidungskriterium für die Wahl des Kurventyps bei einer Kurvenanpassung? Lässt sich Ockhams Rasiermesser vermittels dieses Kriteriums rechtfertigen? Existiert für dieses Kriterium eine wissenschaftstheoretische Rechtfertigung? Diese Fragen bilden das Zentrum des Problems der Kurvenanpassung. In dieser Arbeit werden die Lösungsansätze von Turney sowie Forster und Sober analysiert. Dabei werden gewisse Schwächen der Konzepte herausgearbeitet. Der Kern der Arbeit besteht aus der Entwicklung eines alternativen Lösungskonzepts, dessen Verlässlichkeit durch die bereits zuvor zur Analyse der bekannten Konzepte durchgeführten Computersimulationen aufgezeigt wird und das sich darüber hinaus wissenschaftstheoretisch rechtfertigen lässt. Forsters und Sobers Konzept basiert auf dem Akaike Information Criterion (AIC). Das hier entwickelte Konzept basiert hingegen auf dem Bayes Information Criterion (BIC). In dieser Arbeit werden abschließend erneute Computersimulationen durchgeführt, mithilfe derer die Qualität der bislang verwendeten Kriterien (AIC, BIC und Kreuzvalidierung) für den Fall kleiner Datenmengen analysiert werden.

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E. Das GAUß-MARKOW-Theorem

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In Kapitel 2.3 wurde ausgeführt, dass der Abstand einer Datenmenge D zu einer Kurve f über die sogenannte Abweichungsquadratsumme definiert wird. Die Da- tenpunkte haben für die weiteren Ausführungen die Form (xi,yi) mit 1 ≤ i ≤ N. Prinzipiell gibt es viele Möglichkeiten, wie ein solcher Abstand definiert werden könnte. So könnte man beispielsweise auch die Summe S( f ,D) der absoluten Dif- ferenzen von Daten-y-Werten yi und von f vorausgesagten y-Werten f (xi) definie- ren, also etwa: S( f ,D) = N ∑ i=1 |yi− f (xi)|. (E.1) Dabei wird der Betrag der Differenzen benötigt, damit die einzelnen Summanden sich nicht gegenseitig aufheben können, denn ohne den Betrag können die Sum- manden sowohl negativ als auch positiv sein, je nachdem, ob der Punkt ober- oder unterhalb der Kurve liegt. Die in Kapitel 2.3 betrachtete Abweichungsquadratsum- me AQ( f ,D) := N ∑ i=1 (yi− f (xi))2 hat ebenfalls diesen Effekt, allerdings durch die Quadratur der Summanden. Die Quadratur bewirkt des Weiteren, dass größere Abweichungen stärker gewichtet werden als kleinere, allerdings hätte man dies - und das sogar noch in stärkerem Maße - auch erreichen können, indem man die Summanden etwa in die vierte Po- tenz erhoben oder sie mit einem anderen geraden Exponenten potenziert hätte. Es stellt sich somit die Frage, warum gerade die beschriebene Abweichungsqua- dratsumme als Maß für den Abstand herangezogen wird. Eine Antwort könnte man in dem Theorem von GAU...

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