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Äquivalenztests bei unscharfen Hypothesen

Manuel Ehlers

In dieser Arbeit werden Äquivalenztests untersucht, die es gestatten, die Gleichheit in der Alternativhypothese zu formulieren. Des Weiteren werden die Hypothesen unscharf formuliert, denn häufig gibt es Situationen, bei denen kleine, inhaltlich nicht relevante Abweichungen von der Gleichheit durchaus toleriert werden. Die Formulierung der Hypothesen als unscharfe Mengen hat einen sehr positiven Effekt auf die Eigenschaften eines Tests. So lassen sich die auf unscharfe Mengen erweiterten verallgemeinerten Kriterien für die Fehler 1. und 2. Art unter gewissen Bedingungen simultan kontrollieren, selbst dann, wenn die Hypothesen komplementär sind.

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3 Testen von unscharfen Hypothesen

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3 Testen von unscharfen Hypothesen 3.1 Einleitung In der klassischen Testtheorie führt im Allgemeinen schon eine inhaltlich unbe- deutende Abweichung von der Nullhypothese zu ihrer Ablehnung, wenn nur der Stichprobenumfang groß genug gewählt wird. Darüber hinaus können die Supre- ma derWahrscheinlichkeiten für die Fehler 1. und 2. Art nicht simultan kontrolliert werden, falls zwischen den Hypothesen kein „Abstand“ ist. Um diesen Problemen abzuhelfen, sind in Arnold (1996) und Arnold (1998) unscharfe Mengen im Zu- sammenhang mit Hypothesentests eingeführt worden29. Darauf aufbauende Arbei- ten sind beispielsweise Gerke (2001), Arnold & Gerke (2003), Fidan (2007) und Arnold (2007). Unscharfe Mengen erlauben es, ungefähre Aussagen über den wah- ren Parameterwert zu modellieren, so dass leichte Abweichungen von der Nullhy- pothese nicht nahezu zwangsläufig zu ihrer Ablehnung führen, falls der Stichpro- benumfang sehr groß ist. Im Folgenden werden die Null- und die Alternativhypothese als unscharfe Mengen modelliert, während die Daten scharf bleiben30. Unscharfe Hypothesen können dabei beispielsweise folgende Gestalt annehmen: H0 : q ⇡ q0 , H1 : q 6⇡ q0 . Dabei sei q 2 R wieder der zu testende Verteilungsparameter und q0 2 R ein ge- gebener Referenzwert. Hypothesen dieser Art bilden das menschliche Denken ge- eigneter ab als strikte Gleichheit. Beispielsweise würde eine Person, die sich am wohlsten bei einer Temperatur von q0 = 18 ˚C fühlt, keinesfalls eine Tempera- tur von 18,1 ˚C als vollkommen unangenehm bezeichnen. Es findet ein gleitender Übergang statt. Folgerichtig sollte eine Menge A, die das Wohlbefinden dieser Per-...

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