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Paradoxe Ergebnisse von Mehrheitsentscheidungen

Ein aktueller Disput aus der Gründerzeit der modernen aufgeklärten Demokratie

Wolfgang Gerß

In diesem Buch geht es um demokratische Mehrheitsabstimmungen, von denen der Marquis de Condorcet im 18. Jahrhundert bemerkte, dass sie zu nicht umsetzbaren («paradoxen») Beschlüssen führen können, auch wenn die einzelnen Entscheidungsträger «vernünftig» (rational) denken und handeln. Dieses Phänomen ist bis in die Gegenwart ein Forschungsgegenstand von Sozialwissenschaftlern und Mathematikern. Die gegenwärtige Forschung hat ein Instrumentarium zur Beurteilung der Anfälligkeit gegen das Paradoxon für verschiedene Prozeduren von Mehrheitsentscheidungen geliefert. Hier werden einige Prozeduren in mathematischen Modellen dargestellt. Das Buch beschreibt ausführlich einzelne Schritte der Konstruktion dieser Modelle und demonstriert die empirische Auswertung mit leicht anwendbaren Verfahren der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

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Darstellung nach algebraischer Verkürzung

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Zur praktischen Anwendung vor allem der komplizierten Formeln des Kapitels „Wahrscheinlichkeit paradoxer Entscheidungen“ liegen Formu- lierungen verschiedener Autoren vor, die direkt numerisch reproduzierbar und durch mathematische Analyse verifizierbar sind. Die Darstellungen betreffen insbesondere die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gewinner nach der paarweisen Majoritätsregel existiert, und die Wahrscheinlichkeit, dass diese Regel transitiv ist. Diese Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für Wahlen mit jeweils drei Kandidaten nach verschiedenen Methoden zur Betrachtung ausgeglichener Präferenzen (Impartial Anonymous Culture IAC, Maximal Culture Condition MC, Impartial Culture Condition Connections IC-IAC). Danach ist zu erwarten, dass zyklische Wahlergebnisse aufgrund der paar- weisen Majoritätsregel weit verbreitet sind. Die größte Wahrscheinlichkeit solcher Zyklen tritt bei einer kleinen Anzahl von Wählern auf. Im Folgenden werden für jede Formel die Zugehörigkeit zu einem der hauptsächlich praxisrelevanten Ansätze (IAC, MC, IC-IAC) sowie die Li- teraturstelle angegeben, wo die Formel mathematisch hergeleitet wurde. 1. Impartial Anonymous Culture (IAC) 1.1 Gehrlein und Fishburn 1976: für ungerade n N n IACPMRW A{ } ( )=, ,3 45 128 + + + + + 99 128 39 64 43 192 5 128 384 2 3 4 5n n n n n = +( ) +( ) +( )n n n1 3 5 384 3 1.2. Gehrlein 2002: , , ( ) N n IAC n n n PMRW A{ } ( ) = +( ) + +( )3 2 4 6 384 2 2 für gerade n 1.3. McNutt 1993 und Chen 2002: P n IAC n n nPMRW S , ,3 15 3 16 2 4 2 ( ) = +( ) +( ) +( ) für...

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