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Paradoxe Ergebnisse von Mehrheitsentscheidungen

Ein aktueller Disput aus der Gründerzeit der modernen aufgeklärten Demokratie

Wolfgang Gerß

In diesem Buch geht es um demokratische Mehrheitsabstimmungen, von denen der Marquis de Condorcet im 18. Jahrhundert bemerkte, dass sie zu nicht umsetzbaren («paradoxen») Beschlüssen führen können, auch wenn die einzelnen Entscheidungsträger «vernünftig» (rational) denken und handeln. Dieses Phänomen ist bis in die Gegenwart ein Forschungsgegenstand von Sozialwissenschaftlern und Mathematikern. Die gegenwärtige Forschung hat ein Instrumentarium zur Beurteilung der Anfälligkeit gegen das Paradoxon für verschiedene Prozeduren von Mehrheitsentscheidungen geliefert. Hier werden einige Prozeduren in mathematischen Modellen dargestellt. Das Buch beschreibt ausführlich einzelne Schritte der Konstruktion dieser Modelle und demonstriert die empirische Auswertung mit leicht anwendbaren Verfahren der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

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Elementare geometrische Veranschaulichung

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Für den Fall von nicht mehr als drei zur Wahl stehenden Alternativen wur- den anschauliche geometrische Methoden zur Präsentation und Analyse von Wahlergebnissen entwickelt und angewendet. Die folgenden Ausführungen mit spezieller Symbolik sind an Saari (1995) angelehnt, der eine geome- trische Analysemethode als praktikablen Ersatz für die auf der mathemati- schen Kombinatorik beruhende Methode erarbeitete. „The representation developed here is a natural, geometric one where the number of candidates is identified with the geometric dimension of a space.“ (Saari S. 30). Zunächst sind einige Begriffe zu definieren (Saari S. 22 bis 25). „Konvexität“ (convexity): Eine Fläche ist konvex (d.h. nach außen ge- wölbt), wenn jede gerade Linie zwischen zwei beliebigen Punkten der Fläche vollständig innerhalb der Fläche verläuft. „Linearität“ (linear mapping): x1 = (3, 2) x2 = (6, 4) O markiert einen beweglichen Punkt auf der geraden Linie in Abhängigkeit von t. Algebraische Präsentation der geraden Linie: tx t x t t t t t1 21 3 2 1 6 4 6 3 4 2 0 1+ −( ) = ( ) + −( )( ) = − −( ) ∈[ ], , , ,mit t = 0 ⇒ x2 t = 1 ⇒ x1 Allgemeines lineares Gleichungssystem aus m Zeilen und n Spalten: 114 y a x a x a xn n1 1 1 1 1 2 2 1= + +…+. . . y a x a x a xn n2 2 1 1 2 2 2 2= + +…+. . . und so weiter bis y a x a x a xm m m m n...

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