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Rechnen mit musikalischen Intervallen, Skalen und Stimmungen im historischen Kontext

Walter Bühler

Das interdisziplinär konzipierte Rechenkompendium bietet einen Überblick über die quantitativen Aspekte von musikalischen Intervallen, die im Laufe der Geschichte diskutiert worden sind. Für die mathematische Beschreibung des historischen Materials wird unter den möglichen Modellen bevorzugt das aristoxenische Treppenmodell verwendet, weil es größere Anschaulichkeit mit einem engeren Bezug zu musikalischen Sachverhalten verbindet. Die Betrachtung der diatonischen Struktur und der Notation im Liniensystem führt zunächst auf den Begriff der Stimmung. Der diatonische Algorithmus, der nach Ideen von Leibniz und Henfling mit Kettendifferenzen formuliert wird, garantiert schließlich ein systemübergreifendes Verfahren zur Gewinnung von Stimmungen in konsonanzbasierten Intervallsystemen.
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I. Intervalle und Skalen im Anschauungsraum

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§ 1 Schätzen, Messen und Rechnen im Anschauungsraum

1.1Bevor die Wissenschaft Mathematik entsteht, praktiziert der Mensch beim Umgang mit Strecken und ihren Längen elementare rechnerische und geometrische Verfahren. In der intuitiven Anschauung besitzen zwei Punkte im Raum immer einen Abstand, der mit Hilfe einer Einheit durch eine Maßzahl erfasst oder mindestens abgeschätzt werden kann.

1.2Schon sehr früh wird im Laufe der Geschichte die intuitive Abschätzung von Abständen durch das bewusste und kontrollierte Messen ergänzt oder abgelöst. Aber auch der heutige physikalische Messvorgang bleibt grundsätzlich mit einer bestimmten Messungenauigkeit (uncertainty) verbunden, auch wenn diese sehr klein gehalten werden kann. Zahlenangaben für reale räumliche Intervalle und Skalen sind daher in der Vergangenheit und in der Gegenwart strenggenommen immer mit einer Unschärfe behaftet. Wenn man aus theoretischen Überlegungen heraus einer Strecke – wie etwa der Diagonalen im Quadrat – eine irrationale Maßzahl zuordnen muss, so kann diese Zahl durch Messungen niemals mit völliger Genauigkeit bestimmt werden.

1.3Aus heutiger Sicht werden Leitern oder statische Skalen des eindimensionalen Anschauungsraumes einer Beschreibung durch Zahlen zugänglich, indem man sie auf einen reellen Zahlenstrahl abbildet. Jeder Stufe der Leiter oder Skala entspricht ein Punkt auf dem Zahlenstrahl, und jedem Intervall zwischen zwei Stufen entspricht die geometrische Strecke zwischen zwei Punkten. Die Intervallgröße wird durch den Abstand der beiden Punkte erfasst. Daher können heute sowohl Intervallgrößen als auch Stufen einer Skala vereinfacht durch reelle Zahlen...

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