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Rechnen mit musikalischen Intervallen, Skalen und Stimmungen im historischen Kontext

Walter Bühler

Das interdisziplinär konzipierte Rechenkompendium bietet einen Überblick über die quantitativen Aspekte von musikalischen Intervallen, die im Laufe der Geschichte diskutiert worden sind. Für die mathematische Beschreibung des historischen Materials wird unter den möglichen Modellen bevorzugt das aristoxenische Treppenmodell verwendet, weil es größere Anschaulichkeit mit einem engeren Bezug zu musikalischen Sachverhalten verbindet. Die Betrachtung der diatonischen Struktur und der Notation im Liniensystem führt zunächst auf den Begriff der Stimmung. Der diatonische Algorithmus, der nach Ideen von Leibniz und Henfling mit Kettendifferenzen formuliert wird, garantiert schließlich ein systemübergreifendes Verfahren zur Gewinnung von Stimmungen in konsonanzbasierten Intervallsystemen.
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II. Musikalische Skalen und Intervalle

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§ 7 Grundlegende Hypothesen für musikalische Skalen

7.1Protogeometrische Verfahren und Begriffe, die intuitiv für die Orientierung im Raume bereitstehen, werden ebenso intuitiv auf musikalische Intervalle und Skalen übertragen. Das zeigt sich exemplarisch in den Begriffen intervallum und scala selbst. Das griechische Wort diástema, welches zur Bezeichnung eines musikalischen Intervalls verwendet wird, bezeichnet auch den Abstand von zwei Punkten oder die Länge einer Strecke im Raum. Wenn man in diesem Sinne eine mathematische Modellbildung vornimmt, so gelangt man zum Treppenmodell für musikalische Skalen und Intervalle, wobei Skalen und Intervalle im Sinne von § 2 dynamisch und statisch interpretiert werden können. Intervalle können daher durch eine (dynamisch) oder durch zwei Zahlen (statisch) erfasst werden. Nach § 6 können sie auch in statischer Form addiert und subtrahiert werden, und zwar konsistent zur dynamischen Zahlenrechnung. Die Mathematisierung im Saitenlängen- oder im Frequenzmodell wird erst ab § 41 diskutiert.

7.2Nach § 1.2 sind selbst bei Skalen im Anschauungsraum Zahlenangaben stets mit einer gewissen Unschärfe behaftet. Bei der Größenangabe von musikalischen Intervallen muss man mit einer deutlich größeren Ungenauigkeit rech ← 18 | 19 → nen, und zwar unabhängig vom mathematischen Modell. Einzelheiten werden in § 45 aus heutiger Sicht besprochen.

7.3Die folgenden Aussagen (T1) bis (T10) sollen in plausibler Weise knapp zusammenfassen, was im Bereich der Intervalle und Skalen zur räumlichen Begriffs- und Vorstellungswelt neu hinzukommt, wenn man sich mit dem Treppenmodell auf musikalisches Gebiet begibt. Sie beanspruchen weder Originalität noch...

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