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Rechnen mit musikalischen Intervallen, Skalen und Stimmungen im historischen Kontext

Walter Bühler

Das interdisziplinär konzipierte Rechenkompendium bietet einen Überblick über die quantitativen Aspekte von musikalischen Intervallen, die im Laufe der Geschichte diskutiert worden sind. Für die mathematische Beschreibung des historischen Materials wird unter den möglichen Modellen bevorzugt das aristoxenische Treppenmodell verwendet, weil es größere Anschaulichkeit mit einem engeren Bezug zu musikalischen Sachverhalten verbindet. Die Betrachtung der diatonischen Struktur und der Notation im Liniensystem führt zunächst auf den Begriff der Stimmung. Der diatonische Algorithmus, der nach Ideen von Leibniz und Henfling mit Kettendifferenzen formuliert wird, garantiert schließlich ein systemübergreifendes Verfahren zur Gewinnung von Stimmungen in konsonanzbasierten Intervallsystemen.
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IX. Pythagoreisches und natürliches System als historische Systeme

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§ 46 Der historische Hintergrund des pythagoreischen Systems

46.1In der Zeit, in der die Mathematik als Wissenschaft entsteht, wird im Kreis der Pythagoreer das Saitenlängenmodell für die Beschreibung von musi ← 87 | 88 → kalischen Intervallen eingeführt. Sie verwenden für theoretische Zwecke das Monochord oder den Kanon, ein spezielles Musikinstrument, welches die kontrollierte akustische Verifizierung von Saitenlängenverhältnissen erlaubt.

46.2Die Pythagoreer sehen im neuen Proportionenkalkül des Saitenlängenmodells einen Teil der neuen Wissenschaft Mathematik, die sich – vor allem in der Geometrie – nicht mehr mit den sinnlich wahrnehmbaren, sondern mit abstrakten Objekten beschäftigt. Die Wahrheit einer mathematischen Behauptung lässt sich nicht mehr durch Erfahrung oder durch sinnliche Wahrnehmung ermitteln. Der traditionelle Intervallkalkül im Treppenmodell wird von ihnen daher als unwissenschaftlich abgelehnt.

46.3Aristoxenos polemisiert in seinen theoretischen Schriften gegen die neue pythagoreische Theorie, welche die Musiktheorie in die neue Mathematik integrieren will. Umgekehrt wird er selbst zum Ziel einer heftigen pythagoreischen Polemik. Man muss in der Antike zwei antagonistische Grundströmungen unterscheiden und kann sich nicht auf die pythagoreische Theorie beschränken.

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