Show Less
Restricted access

Rechnen mit musikalischen Intervallen, Skalen und Stimmungen im historischen Kontext

Walter Bühler

Das interdisziplinär konzipierte Rechenkompendium bietet einen Überblick über die quantitativen Aspekte von musikalischen Intervallen, die im Laufe der Geschichte diskutiert worden sind. Für die mathematische Beschreibung des historischen Materials wird unter den möglichen Modellen bevorzugt das aristoxenische Treppenmodell verwendet, weil es größere Anschaulichkeit mit einem engeren Bezug zu musikalischen Sachverhalten verbindet. Die Betrachtung der diatonischen Struktur und der Notation im Liniensystem führt zunächst auf den Begriff der Stimmung. Der diatonische Algorithmus, der nach Ideen von Leibniz und Henfling mit Kettendifferenzen formuliert wird, garantiert schließlich ein systemübergreifendes Verfahren zur Gewinnung von Stimmungen in konsonanzbasierten Intervallsystemen.
Show Summary Details
Restricted access

XII. Zum Rechnen mit Proportionen und Progressionen

Extract



§ 61 Progressionen und Proportionen

61.1Der Proportionenkalkül wird in der Literatur meist für Proportionen (a:b) aus zwei natürlichen Zahlen a und b beschrieben, wobei eine weitgehende Überschneidung mit der bekannten Multiplikation und Division von Brüchen besteht, so dass heute der Unterschied zwischen Verhältniszahl und zweistelliger ganzzahliger Proportion ignoriert werden darf, wenn es auf Kürze und Verständlichkeit ankommt (vgl. § 65). In den Kapiteln VIII bis XI sind deshalb anstelle der historischen zweistelligen Proportionen Verhältniszahlen verwendet worden.

61.2Seit Ptolemaios werden in der pythagoreisch inspirierten Musiktheorie Mehrfachproportionen für die Darstellung musikalischer Skalen im Saitenlängenmodell verwendet. Um Konflikten mit unterschiedlichen historischen Definitionen von Proportion und Proportionalität aus dem Wege zu gehen, bezeichnen wir solche Mehrfachproportionen nach dem Vorbild Michael Stifels als (musikalische) Progressionen. Da im vorliegenden Aufsatz der Proportionenkalkül letztlich zur Darstellung musikalischer Skalen dienen soll, wird im Folgenden ein Versuch unternommen, die hierfür notwendigen Elemente des klassischen Proportionenkalküls unter praktischen Gesichtspunkten in eine allgemeinere Lehre von den Progressionen einzubetten. Begriffe und Verfahren werden dabei aus dem anschaulichen Begriff der Skala im Treppenmodell abgeleitet (vgl. Kapitel I, §§ 2–6).

61.3Die Aussagen in Kapitel XII sind ebenso wie die Aussagen in Kapitel I nicht auf die diatonische Struktur beschränkt und können daher auch für die Untersuchung von beliebigen antiken Skalen verwendet werden.

You are not authenticated to view the full text of this chapter or article.

This site requires a subscription or purchase to access the full text of books or journals.

Do you have any questions? Contact us.

Or login to access all content.