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Rechnen mit musikalischen Intervallen, Skalen und Stimmungen im historischen Kontext

Walter Bühler

Das interdisziplinär konzipierte Rechenkompendium bietet einen Überblick über die quantitativen Aspekte von musikalischen Intervallen, die im Laufe der Geschichte diskutiert worden sind. Für die mathematische Beschreibung des historischen Materials wird unter den möglichen Modellen bevorzugt das aristoxenische Treppenmodell verwendet, weil es größere Anschaulichkeit mit einem engeren Bezug zu musikalischen Sachverhalten verbindet. Die Betrachtung der diatonischen Struktur und der Notation im Liniensystem führt zunächst auf den Begriff der Stimmung. Der diatonische Algorithmus, der nach Ideen von Leibniz und Henfling mit Kettendifferenzen formuliert wird, garantiert schließlich ein systemübergreifendes Verfahren zur Gewinnung von Stimmungen in konsonanzbasierten Intervallsystemen.
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Einleitung

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Nicht weniger als die Pythagoreer verwenden auchdie Aristoxener auf Zahlen beruhende Beweise.

Porphyrius1.

Wer sich in der Geschichte der Musiktheorie mit musikalischen Intervallen, Skalen und Stimmungen beschäftigt, sieht sich mit einer erstaunlichen Vielfalt von Rechenverfahren und quantitativen Aussagen über musikalische Intervalle konfrontiert. Das hier vorgelegte Rechenkompendium stellt einen Versuch dar, dieses historische Material hinsichtlich seines rechnerischen Gehalts unter einheitlichen und teilweise neuartigen Gesichtspunkten und Begriffen zu ordnen. Ich beschränke mich dabei auf den Bereich der europäisch geprägten Musik, wie sie seit dem hohen Mittelalter im Liniensystem notiert wird.

Mathematische Modellbildungen in der Musik beginnen heutzutage gewöhnlich mit physikalischen Betrachtungen zur Schallerzeugung und zur Schallausbreitung. Das Phänomen Tonhöhe, welches hinsichtlich der musikalischen Intervalle den zentralen Aspekt der musikalischen Kommunikation charakterisiert, wird mit der Frequenz einer Schallwelle identifiziert und kann so mit den vertrauten mathematischen Methoden behandelt werden, wie sie sich in der modernen Physik bewährt haben. Daher kann man bei einem solchen theoretischen Ansatz vom Frequenzmodell sprechen. Seit Helmholtz wird die Argumentation im Frequenzmodell enger mit einer physiologischen Analyse des Ohres und mit einer Reflexion hörpsychologischer Befunde verbunden. Ein Beispiel für dieses Vorgehen findet man in dem Buch von David J. Benson2.

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