Aristoxenos und Pythagoras

Walter Bühler

Aristoxenos und Pythagoras

Ein elementarmathematischer Streifzug durch die Geschichte der
musikalischen Skalen und Intervalle

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

Umschlagabbildung: Erycius Puteanus, Musica Pleias 1599,
Nachzeichnung des Autors

ISBN 978-3-631-72429-3 (Print)

E-ISBN 978-3-631-73091-1 (E-PDF)

E-ISBN 978-3-631-73092-8 (EPUB)

E-ISBN 978-3-631-73093-5 (MOBI)

DOI 10.3726/b11883

© Peter Lang GmbH

Internationaler Verlag der Wissenschaften

Frankfurt am Main 2017

Alle Rechte vorbehalten.

PL Academic Research ist ein Imprint der Peter Lang GmbH.

Peter Lang – Frankfurt am Main · Bern · Bruxelles · New York · Oxford · Warszawa · Wien

Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

Diese Publikation wurde begutachtet.

www.peterlang.com

Autorenangaben

Walter Bühler studierte Mathematik und Physik in Tübingen und unterrichtete zuletzt auch Informatik an Berliner Gymnasien. Neben und nach der Berufstätigkeit hat er sich mit der Musiktheorie im Werk von Gottfried Wilhelm Leibniz und von anderen Naturwissenschaftlern auseinandergesetzt.

Über das Buch

Das Nachdenken über Musik ist seit der Antike eng mit der Mathematik verbunden. Auf seinem interdisziplinären Streifzug durch die gemeinsame Geschichte dieser beiden Disziplinen beschränkt sich das Buch nicht auf Pythagoras und die platonische Tradition, sondern bezieht Aristoxenos und die aristotelische Tradition gleichberechtigt in die Betrachtung ein. Der Streifzug, der auch ein historisches Gesamtbild vermitteln will, beginnt in der Antike und endet in der Barockzeit mit den Gedanken Werckmeisters zu Stimmung und Temperatur. Mehrere wichtige historische Werke der Musiktheorie werden dabei kritisch untersucht, und zwar besonders in rechnerischer Hinsicht. Dadurch erscheint nicht nur die Musiktheorie, sondern manchmal auch die Geschichte der Mathematik in einem ungewohnten Licht.

Zitierfähigkeit des eBooks

Diese Ausgabe des eBooks ist zitierfähig. Dazu wurden der Beginn und das Ende einer Seite gekennzeichnet. Sollte eine neue Seite genau in einem Wort beginnen, erfolgt diese Kennzeichnung auch exakt an dieser Stelle, so dass ein Wort durch diese Darstellung getrennt sein kann.

Inhalt

Vorwort

I. Einführung

I.1 Kommunikation, Sprache, Musi

I.2 Die musikalische Kommunikation

I.3 Mathematische Modellbildungen für musikalische Intervalle und Skalen

II. Musiktheorie in der Antike

II.1 Zum Umfeld der antiken Musiktheorie

II.2 Zur Musikpraxis im antiken Griechenland

II.3 Aristoxenische Musiktheorie

II.4 Pythagoreische Musiktheorie

III. Spätantike Weiterentwicklungen

III.1 Klaudios Ptolemaios

III.2 Boethius

III.3 Aristoxenische Elemente in der neuplatonischen Musiktheorie

IV. Christliches Mittelalter und frühe Renaissance

IV.1 Frühe christliche Musiktheorie

IV.2 Zur Entstehung des Liniensystems

IV.3 Diatonische Intervallklassen

IV.4 Oktavgattungen und Modi

IV.5 Orgel und Mehrstimmigkeit←5 | 6→

IV.6 Neue Entwicklungen in der Musiktheorie der frühen Renaissance

IV.7 Zur Entstehung des Humanismus in der Renaissance

V. Das natürliche System der späten Renaissance

V.1 Die Anerkennung von Terzen und Sexten als Konsonanzen

V.2 Ludovico Fogliano und das natürliche System

V.3 Das natürliche System aus heutiger Sicht

V.4 Temperatur als neues Thema der Musiktheorie

V.5 Das natürliche System und die Vokalmusi

V.6 Natürliche Auswahlstimmungen und Foglianos Temperatur

V.7 Gioseffo Zarlino

V.8 Vincenzo Galilei

VI. Frühe reguläre Temperaturen des natürlichen Systems

VI.1 Grundfragen

VI.2 Relative Lage von regulären Temperaturen

VI.3 Indirekte Temperatur mit regulären Oktavteilungen

VI.4 Reguläre Stimmungen

VI.5 Das gleichmäßige Zwölfersystem im Saitenlängenmodell

VII. Neue Legitimationen für das natürliche System

VII.1 Legitimationen vor dem Hintergrund protestantischer Theologie

VII.2 Eine physikalische Legitimation: Die Koinzidenztheorie←6 | 7→

VIII. Mathematische Besonderheiten des natürlichen Systems und seiner Temperatur

VIII.1 Zur Entdeckung der Logarithmen

VIII.2 Kreisdiagramme für diatonische Auswahlskalen aus N

VIII.3 Temperatur der natürlichen Basisoktave durch optimale Oktavteilungen

VIII.4 Unterschiedliche Basen für das natürliche System

IX. Irreguläre Stimmungen

IX.1 Natürliche Auswahlstimmungen und ihre Temperatur

IX.2 Rechnen mit reinen Parametern von Stimmungen

IX.3 Werckmeisters wohltemperierte Stimmungen

IX.4 Die Werckmeister-Stimmungen von 1691

X. Nachwort

Anhang

A.1 Drei Konstruktionen für zwei mittlere Proportionale

A.2 „Pro clavicordiis faciendis“ (Ms 554, f. 202v der Universitätsbibliothek Erlangen)

A.3 Die einfachsten Proportionen aus der natürlichen Basisoktave

Literaturverzeichnis

Personen

Begriffe←7 | 8→ ←8 | 9→

Vorwort

Harmonie ist Einheit in der Vielheit.

G. W. Leibniz.¹

Wie die beiden Bücher, die vor wenigen Jahren im gleichen Verlag erschienen sind, beschäftigt sich auch das vorliegende Buch mit der gemeinsamen Geschichte von Musiktheorie und elementarer Mathematik innerhalb der europäischen Tradition. Es umfasst den großen Zeitraum von der Antike bis in die beginnende Neuzeit und enthält somit gewissermaßen die Vorgeschichte zu meinem ersten Buch, das sich mit den Naturwissenschaftlern der frühen Neuzeit auseinandersetzt [Bühler 2013]. Erstes und drittes Buch bilden in diesem Sinne eine Einheit. Der Ausschnitt aus der Kulturgeschichte, der hierbei über die Grenzen mehrerer Fächer hinweg durchstreift wird, ist zwar thematisch eng begrenzt, vermag aber schon seit vielen Jahrhunderten eine ungewöhnliche Faszination zu entfalten.

Der in diesem Buche unternommene Streifzug bietet demnach in erster Linie eine historische Erzählung aus jenem speziellen Bereich der Geschichte der Musiktheorie, wie er etwa in den Bänden der gleichnamigen Reihe des Staatlichen Instituts für Musikforschung in Berlin beschrieben wird. Die Auswahl der Stationen für diesen Streifzug, ihre Darstellung und ihre Einbettung in den kulturhistorischen Hintergrund trägt wie die Erzählung selbst unvermeidbar subjektive Züge, und ich will und kann keinen Anspruch auf thematische Vollständigkeit erheben. Natürlich will ich in erster Linie etwas von der Faszination weitergeben, welche die historischen Quellen auf mich ausüben, obwohl oder weil sie vor so langer Zeit geschrieben worden sind. Darüber hinaus soll die Erzählung aber auch den historischen Besonderheiten der angrenzenden Fachgebiete und besonders der Mathematik gerecht werden.

Nach meinem Eindruck haben sich im Laufe der letzten Jahrzehnte einige wichtige neue Erkenntnisse und Akzentverlagerungen in der Geschichte der Musiktheorie durchgesetzt. Mein historischer Streifzug will diese Veränderungen nachzeichnen, soweit sie für die Anwendung der Elementarmathematik in der Musik wichtig sind. Dadurch erscheint die Musiktheorie innerhalb der Geschichte der Fächer Mathematik und Physik ebenfalls in einem veränderten Licht. Wie in der Wahl des Buchtitels zum Ausdruck kommt, hat nach meinem Eindruck Aristoxenos für die antike Musiktheorie (und damit für das ganze Gebiet der Skalen, Stimmungen und Temperaturen) inzwischen eine mindestens ebenso große Bedeutung gewonnen wie die altbekannte Gestalt des Pythagoras. Die pythagoreisch-platonische Tradition in der Musiktheorie wird deshalb in diesem Buch insgesamt einer kritischen und eher skeptischen Betrachtung unterzogen. Die grundsätzliche Frage, wie und in←9 | 10→ welchem Umfang Mathematik überhaupt für die Beschreibung musikalischer Skalen verwendet werden kann, wird in diesem Zusammenhang nicht – wie es heute noch weithin üblich ist – mit physikbasierten Begründungen beantwortet, sondern primär mit Argumenten aus dem Bereich der Kommunikation.

Dennoch will ich mir als ehemaliger Mathematiklehrer wie schon in den beiden anderen Büchern weiterhin den Luxus leisten und daran festhalten, dass auch im rechnerischen Bereich jeder Leser prinzipiell die Gelegenheit erhalten soll, alle Gedankengänge unabhängig von ihrer fachlichen Zuordnung im Rahmen seiner Allgemeinbildung selbst nachvollziehen zu können. Die exemplarische Detailfreude,←10 | 11→ die sicherlich meiner früheren pädagogischen Tätigkeit entspringt, erstreckt sich daher in diesem Buche nicht nur auf die allgemeine historische Rahmenerzählung und auf die fächerübergreifende Geschichte der Musiktheorie, der Mathematik und der Naturwissenschaften, sondern auch auf den Bereich der elementaren mathematischen Modellbildung.

Dem Leser bleibt nun das Urteil überlassen, ob und wie weit meine Ziele in diesem Buch tatsächlich erreicht werden, und ob sich meine Begründungen für eine aristoxenische Sicht auf das Thema am Ende überhaupt als stichhaltig erweisen. Da aber von der Antike bis zum 17. Jahrhundert die Mehrzahl aller erhaltenen Quellen der pythagoreischen Tradition angehören, beschäftigt sich das vorliegende Buch ausführlich und gründlich gerade mit jenen Intervallsystemen und Stimmungen, die den Kernbestand der pythagoreischen Tradition ausmachen, nämlich mit dem antiken pythagoreischen System P, mit dem natürlichen System N von Zarlino sowie mit den zugehörigen Temperaturen. Daher kann auch ein Leser, der sich meiner kritischen Bewertung der pythagoreischen Tradition letztlich nicht anschließen←11 | 12→ kann, dieses Buch letztlich doch mit Gewinn lesen, weil ihm eine ungewohnte Perspektive auf diese Systeme geboten wird. In diesem Sinne empfehle ich das Buch mit all seinen Ecken, Kanten, Untiefen und Windungen dem Wohlwollen und der kritischen Prüfung des geneigten Lesers.

Berlin, den 21.5.2017 Walter Bühler←12 | 13→

1 Leibniz, Elementa verae pietatis, A VI, 4, Nr. 256, S. 1358: „Harmonia est unitas in varietate.“

Teil I

←13 | 14→ ←14 | 15→

I. Einführung

Die Worte entquillen freiwillig, ohne Noth und Absicht, der Brust, und es mag wohl in keiner Einöde eine wandernde Horde gegeben haben, die nicht schon ihre Lieder besessen hätte. Denn der Mensch, als Thiergattung, ist ein singendes Geschöpf, aber Gedanken mit den Tönen verbindend.

Wilhelm von Humboldt².

I.1 Kommunikation, Sprache, Musik

Die Musik ist wie die Sprache eine spezielle Form der menschlichen Kommunikation. Soweit wir Menschen überhaupt auf unsere eigene Geschichte zurückblicken können, können wir uns nur vorstellen, dass beide Formen immer ganz selbstverständlich benutzt worden sind. Johann Nikolaus Forkel schreibt 1788, in der Frühphase der Klassik, im ersten Kapitel seiner allgemeinen Geschichte der Musik: „ Alles, was man mit Gewißheit vom Ursprung der Musik sagen und behaupten kann, ist ungefähr nur so viel: daß die Musik ein eben so nothwendiger Theil unseres Wesens ist, als unsere Sprache. Sie ist die Sprache unseres Herzens, und den Keim derselben bringt jeder Mensch, bey seinem Eintritt in diese Welt, mit sich.“3

Über die Sprache schreibt andererseits Wilhelm von Humboldt wenig später am Anfang des 19. Jahrhunderts: „In dem gleichsam nur vegetativen Daseyn des Menschen auf dem Erdboden treibt die Hülfsbedürftigkeitt des Einzelnen zur Verbindung mit Anderen und fordert zur Möglichkeit gemeinschaftlicher Unternehmungen das Verständnis durch Sprache. Ebenso aber ist die geistige Ausbildung, auch in der einsamsten Abgeschlossenheit des Gemüths, nur durch diese letztere möglich, und die Sprache verlangt, an ein äusseres, sie verstehendes Wesen gerichtet zu werden. Der articulierte Laut reisst sich aus der Brust los, um in einem anderen Individuum einen zum Ohre zurückkehrenden Anklang zu wecken. Zugleich macht der Mensch dadurch die Entdeckung, dass es Wesen gleicher innerer Bedürfnisse und daher fähig, der in seinen Empfindungen liegenden mannigfachen Sehnsucht zu begegnen, um ihn her giebt.“ 4