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Clusteranalyse für Netzwerke

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Alexandra Rebecca Klages

In diversen Forschungsgebieten lassen sich Relationen zwischen Objekten durch Netzwerke darstellen. Eine wichtige Fragestellung innerhalb der Analyse komplexer Gefüge ist die Identifikation eng vernetzter Gruppen von Objekten, welche auch Cluster genannt werden. Solche Strukturen lassen sich als Netzwerke abbilden, in denen die Objekte den Knoten und ihre Beziehungen den Kanten entsprechen. Diese Arbeit stellt eine neue Methode zur Bildung von Clustern in Netzwerken vor. Dabei werden hierarchische Verfahren, die ursprünglich zur Clusteranalyse von (Un-)Ähnlichkeits- bzw. Distanzdaten entwickelt wurden, auf Netzwerke übertragen und weiterentwickelt. Dazu wird die Adjazenzstruktur des Netzwerks unter Verwendung der Längen kürzester Wege innerhalb der Netzwerke in Distanzdaten überführt.

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2 Grundlagen

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Die vorliegende Arbeit befasst sich mit Methoden der C lusterana lyse in N etzw erken. Dabei werden Einteilungen der Knotenmengen von Netzwerken in Knotengruppen gesucht, welche die folgenden Bedingungen erfüllen: Zwi­ schen den Knoten einer Gruppe gibt es viele Kanten, wührend nur wenige Kanten von Knoten dieser Gruppe zu Knoten des restlichen Netzwerks exis­ tieren. In diesem Kapitel werden Grundlagen der Netzwerktheorie (Abschnitt 2.1) und der Clusteranalyse in Netzwerken (Abschnitt 2.2) erläutert. Definitio­ nen und Methoden der Clusteranalyse, die urspriinglich für (Un-)Ahnlichkeits- oder Prüferenzdaten entwickelt wurden, sind in Anhang A zu finden. 2.1 Netzwerktheorie Dieser Abschnitt dient der Einfuührung grundlegender Definitionen und Bezeich­ nungsweisen der Netzwerktheorie sowie einiger Anwendungen und methodischer Überlegungen, die in den folgenden Kapiteln verwendet werden. Ein weiter ge­ fasster Überblick findet sich beispielsweise bei Diestel (2010) [78]. 2.1.1 Definitionen Die Anzahl der in einer Menge M enthaltenen Elemente wird mit | M | be­ zeichnet und als M ächtigkeit oder Kardinalitat von M bezeichnet. Ein end ­ liches N etzw erk N ist ein Paar (V ,E ) von Mengen, wobei V = V ( N ) als K notenm enge von N mit 0 M D vz + M D zw gelten, inbesondere, wenn v und w im ersten Schritt nicht benachbart sind und somit M D vw :=∝ gesetzt wurde, sie aber durch einen Weg im Netzwerk verbunden sind. Falls der Weg von v uäber z nach w kuärzer ist als die aktuell gespeicherte Distanz M D vw, wird M D vw := M...

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