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Das Problem der Kurvenanpassung

Das Balancieren der Ansprüche der Einfachheit und der Genauigkeit

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Jens Paulßen

Gibt es ein verlässliches Entscheidungskriterium für die Wahl des Kurventyps bei einer Kurvenanpassung? Lässt sich Ockhams Rasiermesser vermittels dieses Kriteriums rechtfertigen? Existiert für dieses Kriterium eine wissenschaftstheoretische Rechtfertigung? Diese Fragen bilden das Zentrum des Problems der Kurvenanpassung. In dieser Arbeit werden die Lösungsansätze von Turney sowie Forster und Sober analysiert. Dabei werden gewisse Schwächen der Konzepte herausgearbeitet. Der Kern der Arbeit besteht aus der Entwicklung eines alternativen Lösungskonzepts, dessen Verlässlichkeit durch die bereits zuvor zur Analyse der bekannten Konzepte durchgeführten Computersimulationen aufgezeigt wird und das sich darüber hinaus wissenschaftstheoretisch rechtfertigen lässt. Forsters und Sobers Konzept basiert auf dem Akaike Information Criterion (AIC). Das hier entwickelte Konzept basiert hingegen auf dem Bayes Information Criterion (BIC). In dieser Arbeit werden abschließend erneute Computersimulationen durchgeführt, mithilfe derer die Qualität der bislang verwendeten Kriterien (AIC, BIC und Kreuzvalidierung) für den Fall kleiner Datenmengen analysiert werden.

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5. Simulationen: Das Konzept von FORSTER und SOBER

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Um das Konzept um das AKAIKE-FORSTER-SOBER-Theorem in konkreten An- wendungssituationen zu testen, habe ich Computersimulationen durchgeführt.1 Die grundlegende Idee hierbei war, dass eine Bewertung eines Kurvenwahlkri- teriums dann am einfachsten ist, wenn man bereits vorab weiß, was eigentlich herauskommen müsste. Im folgenden Kapitel gehe ich zuerst auf entsprechende Simulationen für den geschätzten Abstand zur wahren Kurve im FORSTER’schen und SOBER’schen Sinne ein. Im daran anschließenden Kapitel werden die Simu- lationen analog für das AKAIKE-FORSTER-SOBER-Theorem durchgeführt. 5.1. Simulationen I: Geschätzter Abstand zur wahren Kurve Auf Basis dieser grundlegenden Idee entstand zunächst der folgende Simulations- algorithmus, der aus drei Schritten besteht: 1. Man gibt diejenige Funktion an, die in der Simulation die Rolle der wahren Funktion übernimmt. 2. Das Programm erzeugt dann mithilfe des Signal-Rauschen-Modells und nach gewissen Vorgaben eine Datenmenge. Bei diesen Vorgaben handelt es sich um verschiedene Parameter, die in der Simulation variiert werden kön- nen, um ein möglichst breites Spektrum verschiedener Anwendungssituatio- nen simulieren zu können. So sind die Intervall-Grenzen der unabhängigen Variablen x frei wählbar. Ebenso ist die äquidistante Schrittweite für die Generierung der x-Werte frei wählbar. Darüberhinaus kann auch der Pertur- bationskoeffizient σ für das Signal-Rauschen-Modell frei gewählt werden. Wählt man ihn etwa gleich Null, so entspricht die simulierte Messdatenmen- ge exakt der wahren Datenmenge. 1 Sämtliche Simulationen wurden in dem Programmpaket MATLAB implementiert. 116 5. Simulationen: Das Konzept von FORSTER und SOBER 3. Dann werden polynomielle...

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