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Rechnen mit musikalischen Intervallen, Skalen und Stimmungen im historischen Kontext

Walter Bühler

Das interdisziplinär konzipierte Rechenkompendium bietet einen Überblick über die quantitativen Aspekte von musikalischen Intervallen, die im Laufe der Geschichte diskutiert worden sind. Für die mathematische Beschreibung des historischen Materials wird unter den möglichen Modellen bevorzugt das aristoxenische Treppenmodell verwendet, weil es größere Anschaulichkeit mit einem engeren Bezug zu musikalischen Sachverhalten verbindet. Die Betrachtung der diatonischen Struktur und der Notation im Liniensystem führt zunächst auf den Begriff der Stimmung. Der diatonische Algorithmus, der nach Ideen von Leibniz und Henfling mit Kettendifferenzen formuliert wird, garantiert schließlich ein systemübergreifendes Verfahren zur Gewinnung von Stimmungen in konsonanzbasierten Intervallsystemen.
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X. Stimmungen und natürliches System

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§ 54 Reine Parameter einer allgemeinen temperierten Stimmung

54.1Im 17. und 18. Jahrhundert wird eine sehr große Zahl von unterschiedlichen Stimmungen in der Musiktheorie diskutiert, die in ihrer Mehrheit als reguläre oder bireguläre Auswahlstimmungen behandelt werden können. Es gibt aber auch wichtige Vorschläge für irreguläre Stimmungen, so dass die allgemeinen Betrachtungen aus den Paragraphen 24 bis 27 weitergeführt werden müssen. In den beiden genannten Jahrhunderten bildet jedoch das natürliche System den idealen Bezugspunkt. Stimmungen werden als Temperaturen des natürlichen Systems betrachtet. Deshalb findet man in der damaligen Zeit nicht die in § 27 verwendeten Standard-Parameter, sondern die reinen Parameter. Diese geben nicht die Differenzen zu den gleichmäßigen Intervallen, sondern zu den reinen Intervallen des natürlichen Systems an, und zusätzlich werden sie in aller Regel als Vielfache von bestimmten Kennzahlen des natürlichen Systems angegeben.

54.2Im genannten Zeitraum ist es in der Musiktheorie in der Regel nicht möglich, numerische Berechnungen mit einer Genauigkeit durchzuführen, welche an die Größenordnung des Mikroschismas herankommt. Deshalb dürfen im Folgenden bei den zur Approximation herangezogenen natürlichen Kennzahlen die Vielfachen von μS vernachlässigt werden, wie sie in Abbildung 57 aufgelistet sind. So werden zum Beispiel im Kontext der Stimmungen natürliches Schisma und Quintexzess qE als gleich betrachtet.

54.3Als Einheiten für reine Parameter werden in jener Zeit syntonisches und pythagoreisches Komma sowie der Quintexzess bzw. das Schisma verwendet. Die entsprechenden...

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