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Das Problem der Kurvenanpassung

Das Balancieren der Ansprüche der Einfachheit und der Genauigkeit

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Jens Paulßen

Gibt es ein verlässliches Entscheidungskriterium für die Wahl des Kurventyps bei einer Kurvenanpassung? Lässt sich Ockhams Rasiermesser vermittels dieses Kriteriums rechtfertigen? Existiert für dieses Kriterium eine wissenschaftstheoretische Rechtfertigung? Diese Fragen bilden das Zentrum des Problems der Kurvenanpassung. In dieser Arbeit werden die Lösungsansätze von Turney sowie Forster und Sober analysiert. Dabei werden gewisse Schwächen der Konzepte herausgearbeitet. Der Kern der Arbeit besteht aus der Entwicklung eines alternativen Lösungskonzepts, dessen Verlässlichkeit durch die bereits zuvor zur Analyse der bekannten Konzepte durchgeführten Computersimulationen aufgezeigt wird und das sich darüber hinaus wissenschaftstheoretisch rechtfertigen lässt. Forsters und Sobers Konzept basiert auf dem Akaike Information Criterion (AIC). Das hier entwickelte Konzept basiert hingegen auf dem Bayes Information Criterion (BIC). In dieser Arbeit werden abschließend erneute Computersimulationen durchgeführt, mithilfe derer die Qualität der bislang verwendeten Kriterien (AIC, BIC und Kreuzvalidierung) für den Fall kleiner Datenmengen analysiert werden.

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7. Das BAYES’sche Informationskriterium

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In diesem Kapitel werde ich auf ein alternatives und ebenfalls sehr berühmtes Informationskriterium eingehen: Das sogenannte BAYES’sche Informationskrite- rium (BIC). Man könnte aufgrund des Namens vermuten, dass es von Thomas BAYES entwickelt wurde. Dies ist jedoch nicht so. So wurde dieses Informati- onskriterium von Gideon SCHWARZ, einem Statistiker an der Hebrew University in Jerusalem, entwickelt und 1978 in einem Artikel mit dem Namen Estimating the dimension of a model [37] in der bekannten Fachzeitschrift The Annals of Statistics veröffentlicht. Der Name des Kriteriums erklärt sich durch die Umset- zung einer Idee, die eher in den Rahmen der BAYES’schen Statistik falllen wür- de. Aufgrund dieses Hintergrundes ist das Informationskriterium heute auch als SCHWARZ-BAYES-Kriterium bekannt. Ich werde mich in meinen Ausführungen jedoch immer der ersteren Bezeichnung bedienen. Als Einstieg werde ich zunächst weder die Grundidee der technischen Herleitung des BIC noch die technischen Unterschiede zum AKAIKE’schen Informationskri- terium (AIC) darstellen, sondern direkt mit der Verbindung zum AIC beginnen. Um Verwechslungen vorzubeugen, führe ich für die Werte, die das AIC und das BIC für eine Kurvenfamilie F bezüglich einer Datenmenge D ergeben würden, die Bezeichnungen AIC(F |D) und BIC(F |D) ein. 7.1. Gewichtung der Einfachheit Wie in Kapitel 4.1 ausgeführt wurde, gilt für das AIC: AIC(F |D) = 1 N [ll(B(F)|D)− k], (7.1) 152 7. Das BAYES’sche Informationskriterium wobei N die Anzahl der Datenpunkte der vorliegenden Datenmege D, k die (kleinste) Anzahl der anpassbaren...

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