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Paradoxe Ergebnisse von Mehrheitsentscheidungen

Ein aktueller Disput aus der Gründerzeit der modernen aufgeklärten Demokratie

Wolfgang Gerß

In diesem Buch geht es um demokratische Mehrheitsabstimmungen, von denen der Marquis de Condorcet im 18. Jahrhundert bemerkte, dass sie zu nicht umsetzbaren («paradoxen») Beschlüssen führen können, auch wenn die einzelnen Entscheidungsträger «vernünftig» (rational) denken und handeln. Dieses Phänomen ist bis in die Gegenwart ein Forschungsgegenstand von Sozialwissenschaftlern und Mathematikern. Die gegenwärtige Forschung hat ein Instrumentarium zur Beurteilung der Anfälligkeit gegen das Paradoxon für verschiedene Prozeduren von Mehrheitsentscheidungen geliefert. Hier werden einige Prozeduren in mathematischen Modellen dargestellt. Das Buch beschreibt ausführlich einzelne Schritte der Konstruktion dieser Modelle und demonstriert die empirische Auswertung mit leicht anwendbaren Verfahren der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

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Exemplarische Hinweise zur mathematischen Herleitung

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Im Folgenden werden für die im Kapitel „Darstellung nach algebraischer Verkürzung“ zitierten Formeln Hinweise zu den ausführlichen mathe- matischen Beweisen gegeben. In Formel 1.5 wird die Wahrscheinlichkeit P m n IACPMRW x{ } ( ), , betrachtet, dass eine gegebene Menge x{ } von Kandidaten in der Menge aller Gewinner nach der paarweisen Majoritätsregel (PMRW, „Condorcet Gewinner“) enthalten ist, wenn n Wähler und m Kandida- ten vorliegen und das Konzept der „Impartial anonymous culture“ (IAC) angewendet wird. Dieser Wahrscheinlichkeitsbegriff bezieht sich also auf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Condorcet-Gewinner tatsächlich existiert. Jedes Kandidatenpaar in der gegebenen Menge der Kandidaten ist durch die paarweise Majoritätsregel verbunden, und jeder Kandidat in der gegebenen Menge übertrifft oder bindet alle nicht in dieser Menge enthaltenen Kandi- daten. Die Wahrscheinlichkeit P#,, dass eine bestimmte Teilmenge spezifi- zierter Elemente gegeben ist, hat den Wert P i# , wenn die Kardinalzahl einer Menge x{ } gleich i ist. Wenn n ungerade ist, so kann der Fall vorkommen, dass keine Bindung durch die paarweise Majoritätsregel besteht. Aus For- mel 1.3 und dem Zusammenhang P n IAC P n IACPMRW PMRW S# , , , ,1 3 1 3 3( ) = ( )  folgt dann Formel 1.5 für ungerade n. Nach Formel 1.1 wird die Anzahl N n IACPMRW A{ } ( )3, , der zu A als PMRW führenden Wahlsituationen für drei Kandidaten bei Anwendung des Konzepts IAC durch einen Prozess der sequentiellen Nutzung bekannter Beziehungen von Summen der Potenzen ganzer Zahlen ermittelt, die in Sammlungen von mathematischen Tafeln und Formeln veröffentlicht wur-...

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