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Wege zu einer erklärungsorientierten Linguistik im systemtheoretischen Paradigma

Grundlagentheoretische Untersuchungen

Series:

Walther Kindt

Was der Verhaltensbiologie gelungen ist – nämlich die Entwicklung von einer beschreibenden zu einer erklärenden Wissenschaft – das sollte auch Ziel der Linguistik sein. Der Autor zeigt auf, wie sich dieses Ziel im systemtheoretischen Rahmen erreichen lässt. Zunächst ist das Grundlagenproblem unzureichender Begriffsdefinitionen und Testverfahren zu lösen, um zu korrekten Beschreibungen und induktiv abgeleiteten Gesetzmäßigkeiten zu gelangen. Dadurch lassen sich bereits viele neue Erkenntnisse gewinnen. Sodann kann man für empirisch ermittelte Sachverhalte nach Erklärungen suchen, die auf allgemeinen Prinzipien oder Erwartungen beruhen. Diese Suche ist unter anderem dann zumeist erfolgreich, wenn sie durch Symmetriebrüche und eine konsequente Faktorenanalyse erleichtert wird.

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2. Konzepte der Systemtheorie

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2.Konzepte der Systemtheorie

Das vorige Kapitel diente der Motivation, der systemtheoretischen Rahmensetzung und einer Illustration verschiedener dynamischer Phänomene. Nachfolgend soll nun die Theorieentwicklung in einer mengentheoretischen Formulierung beginnen. Leser/innen, die sich damit nicht genauer befassen möchten, können gleich zur Lektüre von Abschnitt 2.2 übergehen.

Als Erstes sind einige Vorbemerkungen zum Theoriebegriff und zur verwendeten Theoriesprache erforderlich. Eine Theorie nach Definition in der Logik besteht aus axiomatisch vorausgesetzten und/oder empirisch ermittelten Basisaussagen über einen Gegenstandsbereich und seinen Objekten, zusätzlich aber oft schon aus daraus mithilfe logischer Schlussregeln abgeleiteten Folgerungen. Theorien sollten widerspruchsfrei sein und ihre empirischen Basisaussagen sind jeweils korrekt nachzuweisen oder zumindest ausreichend zu bestätigen. Von besonderem Interesse in Theorien sind Gesetzesaussagen, weil sie Erklärungen und Prognosen ermöglichen. Um eine Theorie zu entwickeln, wählt man eine Theoriesprache aus und führt geeignete Beschreibungskategorien ein. Bei formalen Theorien verwendet man im Prinzip eine Logiksprache zur Theorienformulierung und das ist i.Allg. eine prädikatenlogische Sprache erster Stufe. Dabei wird aus Ökonomiegründen zwar häufig ein gewisser Teil der zugehörigen Aussagen formalsprachlich dargestellt und für besonders relevante Begriffe führt man zugehörige Prädikaten-oder Funktionskonstanten ein. Ansonsten greift man aber zum leichteren Verständnis oft auf eine Darstellung der Aussagen in natürlicher Sprache zurück, die zugunsten einer Vermeidung von Mehrdeutigkeit analog zu Logiksprachen im Prinzip zumindest in zwei Punkten erweitert wird. Das Vokabular von Logiksprachen enthält nämlich außer logischen Symbolen sowie Individuen-, Prädikaten-und Funktionskonstanten auch Klammersymbole und Objektvariablen, um Skopus-und Referenzambiguitäten auszuschließen. Ein Beispiel für eine Skopusambiguität bei Verwendung der natürlichen Sprache bildet der Satz

(2/1a) Alte Männer und Frauen trinken gern Wein.

Um die Lesart mit dem sog. weiten Skopus für alte zu erhalten, kann man analog zu den syntaktischen Regeln in Logiksprachen in folgender Weise Klammern setzen.

(2/1b) Alte (Männer und Frauen) trinken gern Wein.

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In (2/1b) macht dann die Linksausklammerung des Adjektivs Alte klar, dass die Lesart mit dem weiten Skopus gemeint ist. Dagegen lässt sich (ähnlich wie beim Zahlenrechnen mit der Regel „Punkt vor Strich“) durch eine Klammerersparungsregel die Bedeutung von (2/1a) auf die Lesart mit dem engen Skopus einschränken. Den Nutzen einer Verwendung von Objektvariablen veranschaulicht der Satz

(2/2a) Zu jeder Frau gibt eine andere Frau, die sie beneidet.

Die beiden Lesarten im Relativsatz von (2/2a) lassen sich mithilfe von Variablen folgendermaßen voneinander trennen.

(2/2b) Zu jeder Frau u gibt es eine andere Frau v mit der Eigenschaft: v beneidet u.

(2/2c) Zu jeder Frau u gibt es eine andere Frau v mit der Eigenschaft: u beneidet v.

Durch die Wiederholung der Variablen u und v in der Teilaussage v beneidet u in (2/2b) bzw. u beneidet v in (2/2c) wird anders als mit den Pronomina die und sie in (2/2a) eine eindeutige Referenz erreicht und somit – wenn man eine Subjektkategorisierung für die Erstposition dieser Teilaussage unterstellt – auch geklärt, wer wen beneidet. Zudem lässt sich die Voraussetzung der Verschiedenheit der beiden Frauen formal durch die Bedingung u ≠ v ausdrücken.

2.1Allgemeines über die zugrundgelegte Mengen-und Strukturtheorie

2.1.1Mengentheoretische Voraussetzungen

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Die hier eingeführte Systemtheorie greift auf allgemeine Konzepte der Mengen-und Strukturtheorie zurück. Deshalb sollen nachfolgend wichtige Sachverhalte aus diesen beiden Theorien dargestellt werden. Die Mengentheorie beschäftigt sich mit Gegenstands-bzw. Objektbereichen, die ausgehend von bestimmten Grundelementen (auch Individuen genannt) gegenüber der Bildung spezieller neuer Gesamtheiten, die man als Klassen und bei kleineren Gesamtheiten als Mengen bezeichnet, abgeschlossen sind. Bei Anwendungen der Mengentheorie wird von dieser Möglichkeit i.Allg. aber nur soweit wie erforderlich Gebrauch gemacht. So fasst man bei der Untersuchung von Strukturen neben den Individuen auch Relationen zwischen ihnen als Objekte auf. Als primäre Beschreibungskategorien (Grundbegriffe) der Theorie werden die Elementbeziehung (notiert durch ∈) und der auf Objektvariablen u,v,…,z und Aussagen A anwendbare Operator der Klassenbildung (notiert durch {u: A}) eingeführt und durch bestimmte Axiome charakterisiert. Mithilfe dieser beiden Grundbegriffe werden anschließend die anderen einschlägigen mengentheoretischen Konzepte definiert, also insbesondere die bekannten Konzepte der Teilbeziehung (formal dargestellt durch ⊂) sowie der Operationen von Differenz-, Vereinigungs-und Durchschnittsbildung (notiert durch – und ∪ und ∩). Die folgende Darstellung bezieht sich auf eine klassenlogische Version der Mengentheorie, die bestimmte Probleme dieser Theorie besonders einfach löst (vgl. hierzu Oberschelp 1994). Trotzdem werden i.W. nur Mengen betrachtet.

Ein auch für die Linguistik relevantes Problem anderer Versionen der Mengentheorie besteht darin, dass in ihnen vorausgesetzt wird, dass alle Elemente des Objektbereichs selbst Mengen sind und damit – die leere Menge ausgenommen – weiter in bestimmte zum Objektbereich gehörige Elemente zerlegt werden können. Bei der Betrachtung sprachlicher Äußerungen ist diese Voraussetzung unzweckmäßig, weil man sich i.Allg. nur für Äußerungszerlegungen bis hin zu bestimmten kleinsten sprachlichen Einheiten, also etwa Lauten oder Buchstaben, interessiert. Zwar lassen sich z.B. Buchstaben als Mengen von Punkten mit spezifisch aufeinander ausgerichteten Positionen auffassen. Aber dann stellt sich in einer „nichtatomistischen“ Mengentheorie die Frage, aus welchen Elementen die betreffenden Punkte bestehen. Deshalb ist es im Prinzip sinnvoll, eine sog. mereologische Mengentheorie einzuführen, die eine Teil(mengen)-Beziehung als Grundbegriff verwendet (vgl. Kindt 1991). Diese Konzeption soll hier zwar nicht genauer dargestellt werden. Erwähnt sei aber, dass sich in ihr auch der semantische Unterschied zwischen Stoff-und Zählnomina erfassen lässt. Die in einer Situation vorliegenden Referenzobjekte eines Stoffnomens wie z.B. Mehl haben nämlich anders als bei Zählnomina die Eigenschaft, dass jeder nichtleere Teil von ihnen (oberhalb ihrer chemischen Verbindung) selbst zur Extension dieses Nomens gehört.

Ein bekanntes Inkonsistenzproblem für die Mengentheorie ergibt sich, wenn man voreilig annimmt, die Bildung jeder aus Mengen konstruierten Gesamtheit müsse selbst eine Menge sein. In diesem Fall wäre also auch die mit dem Klassenbildungsoperator gebildete Gesamtheit K aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten, eine Menge. Diese Folgerung führt jedoch zu einem Widerspruch. Denn falls K eine Menge wäre und sich nicht selbst als Element enthalten würde, dann würde K nach Definition von K doch als Element zu K gehören. Wäre K aber eine Menge und würde sich K selbst als Element enthalten, dann wäre die Definitionsbedingung von K nicht erfüllt und K könnte doch nicht zu K gehören. Somit bildet K zwar eine Klasse, kann aber keine Menge sein. Folglich ist K kein Objekt des jeweiligen Gegenstandsbereichs, sondern ein Teilbereich.

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Die Relevanz der Mengentheorie besteht darin, dass sich mit ihr alle erforderlichen strukturtheoretischen Konzepte auf einfache Weise definieren lassen. Überdies ist dann der Status von Klassenbildungen als Mengen abgesichert, sofern man die Operation der Klassenbildung nur in solchen Fällen anwendet, bei denen Objekte u mithilfe einer Aussage A aus einer Menge v aussortiert und in einer Teilmenge von v zusammengefasst werden (notiert durch {u∈v: A}). Insbesondere kann man den Relations-und den Funktionsbegriff definieren und die üblichen Zahlkonzepte mit den zugehörigen Rechenoperationen einführen. Außerdem hat man – wie noch gezeigt wird – die Freiheit, modifizierte strukturtheoretische Konzepte zu definieren, die den spezifischen Bedürfnissen der jeweiligen Wissenschaft, also hier der Linguistik, angepasst sind.

Wegen ihrer wichtigen Rolle in der Grammatiktheorie sei an dieser Stelle die rekursive Definition für natürliche Zahlen angeführt. Die Zahl „Null“ wird mit der leeren Menge identifiziert, weil sie keine Elemente enthält; deshalb verwendet man die Ziffer „0“ der Einfachheit halber oft auch zur Bezeichnung der leeren Menge. Jede auf eine natürliche Zahl n unmittelbar folgende Zahl (notiert durch Nn) wird dann dadurch konstruiert, dass man zu den Elementen von n noch n selbst als neues Element hinzufügt (formal aufgeschrieben: Nn:={u: u∈n oder u=n}). 0 ist also das einzige Element von 1 und 2 besitzt als Elemente 0 und 1. Genereller ist nach dieser Definition jede natürliche Zahl identisch mit der Menge ihrer Vorgänger und sie gibt selbst die Anzahl ihrer Elemente an.

2.1.2Zuordnungen, Relationen, Funktionen, Sequenzen, Strukturen

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Der wesentliche, auf der Mengentheorie aufbauende Schritt für eine Beschreibung von Strukturen besteht in der Einführung eines Zuordnungskonzepts, nämlich durch Definition des sog. geordneten Paars. Wichtig ist insbesondere, dass man Individuen in bestimmte Kategorien einstufen und ihnen andere Individuen zuordnen kann, die in einer bestimmten Beziehung zu ihnen stehen. Z.B. möchte man vielleicht in einer Untersuchung das Wort Wolfgang wie üblich in die Kategorie „Eigenname“ einordnen und ihm einen bestimmten Referenten zuweisen, der in die Kategorie „Politiker“ gehört. Außerdem sollen diesem Referenten evtl. bestimmte Personen zugeordnet werden, die zu ihm in der Relation „Parteifreund“ stehen; zu diesen Personen könnte schließlich jemand gehören, der den Eigennamen Christian trägt. Jede solche Zuordnung wird formal dargestellt als geordnetes Paar <x,y> mit der Lesart, dass in <x,y> dem erstgenannten Objekt x das in zweiter Position stehende Objekt y zugeordnet ist. Für die Einführung des Konzepts „geordnetes Paar“ wurden in der Mengentheorie verschiedene Definitionen vorgeschlagen. Für die einfachste unter ihnen, die die gewünschte Eindeutigkeitseigenschaft für die beiden Komponenten geordneter Paare besitzt, führt man zunächst die aufzählende Schreibweise endlicher Mengen ein, nach der es erlaubt ist, die Elemente einer Menge explizit anzugeben und durch Kommata getrennt innerhalb der geschweiften Klammern einzutragen. So erhält man z.B. das Konzept des ungeordneten Paars {x,y} (auch einfach „Paar“ genannt) als diejenige Menge, die genau aus den Elementen x und y besteht. Formal lässt sich dieses durch {x,y}:={u: u=x oder u=y} definieren, wobei der Doppelpunkt vor dem Gleichheitszeichen auf den Status einer Definition hinweist. Außerdem benötig man das Konzept der sog. Einermenge {x}:={u: u=x}, die nur aus dem Element x besteht. Mithilfe dieser beiden Konzepte lässt sich das geordnete Paar <x,y> dann nach einer Idee des Mathematiker Kuratowski als die Paarmenge definieren, die genau aus den Elementen {x} und {x,y} besteht. Formal aufgeschrieben besagt diese Definition: <x,y>:={{x},{x,y}}. Außerdem wird als sog. kartesisches Produkt zweier Mengen X und Y die Menge X ⊗ Y der geordneten Paare <u,v> mit u aus X und v aus Y eingeführt (formal X⊗Y:={<u,v>: u∈X und v∈Y}). Bei Mehrfachprodukten verzichtet man auf Klammern und schreibt z.B. statt (X⊗Y)⊗Z vereinfachend X⊗Y⊗Z. Analog notiert man Elemente <<x,y>,z> aus X⊗Y⊗Z durch <x,y,z> und nennt sie Tripel.

Eine einfache und allgemein übliche Art der Definition zweistelliger Relationen besteht darin, dass man sie bei einer sog. extensionalen Auffassung identifiziert mit der Menge der geordneten Paare, die in der jeweiligen Relation zueinander stehen. Solche Relationen sollen hier Kuratowski-Relationen heißen. Definitionsgemäß bildet auch die leere Menge eine Relation dieser Art, weil z.B. für Einermengen des Typs {x} gilt, dass kein aus ihren Elementen gebildetes geordnetes Paar <u,v> die Eigenschaft u≠v hat und weil deshalb die zugehörige Menge der geordneten Paare mit dieser Eigenschaft leer ist; formal aufgeschrieben heißt das, dass {<u,v>: u∈{x} und v∈{x} mit u≠v}=0 gilt. Trotz der extensionalen Definitionsformulierung führt man in der Mengentheorie Relationen zugunsten einer der Alltagsprache näheren Darstellung oft ohne Rekurs auf die zugehörigen Mengen von geordneten Paaren ein, sondern mithilfe von neuen Prädikatenkonstanten bzw. zugehörigen natürlichsprachlichen Prädikaten. Z.B. kann man die „ist-kleiner-als-Relation“ < für natürliche Zahlen n und m definieren durch: n<m genau dann, wenn n⊂m und nm. Diese Definition lässt sich allerdings leicht in die Definition einer korrespondierenden Kuratowski-Relation r< überführen, indem man festlegt, dass <n,m>∈r< genau dann, wenn n<m. Umgekehrt kann man jede mit dem Klassenbildungsoperator eingeführte Kuratowski-Relation in eine auf eine neue Prädikaten-oder Funktionskonstante bezogene Definition umformulieren.

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Für Kuratowski-Relationen sind sieben weitere Definitionen wichtig. Als Definitionsbereich einer solchen Relation r (notiert durch DEF(r)) wird die Menge derjenigen u bestimmt, zu denen es ein v mit der Eigenschaft gibt, dass <u,v>∈r. Der Wertebereich WERT(r) von r ist dagegen die Menge derjenigen v, zu denen es ein u mit der Eigenschaft gibt, dass <u,v>∈r. Die Menge der bei r zu einem x gehörigen Werte v wird mit r[x] bezeichnet. Die zu r inverse Relation r-1 definiert man als die Menge der geordneten Paare <u,v> mit <v,u>∈r. Weiterhin nennt man eine solche Relation f genau dann eine Funktion, wenn es zu jedem Element u des Definitionsbereichs genau ein v mit <u,v>∈f gibt. Formal aufgeschrieben besagt das: Wenn <u,v>∈f und <u,w>∈f, dann v=w. Der bei einer Funktion f zu einem Element x von DEF(f) gehörige eindeutig bestimmte Wert y wird wie üblich mit f(x) bezeichnet. Schließlich ist f eine endliche Folge genau dann, wenn f eine Funktion ist und eine natürliche Zahl n als Definitionsbereich besitzt, also wenn f allen Vorgängerzahlen von n genau einen Wert zuordnet; zumeist lässt man Folgen statt bei 0 aber bei 1 beginnen.

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In der Mengentheorie werden verschiedene Arten von Relationen und Funktionen betrachtet. Eine wissenschaftlich besonders wichtige Relationsart bilden Äquivalenzrelationen. Sie ermöglichen eine Komplexitätsreduktion im jeweiligen Objektbereich, indem man von bestimmten, für das jeweilige Forschungsziel irrelevanten Eigenschaften der primären Untersuchungsgegenstände abstrahiert. Hierzu fasst man die nur in diesen Eigenschaften voneinander unterschiedenen Objekte als äquivalent auf und wählt die kleinere Menge der zugehörigen sog. Äquivalenzklassen als ‚neuen‘ Gegenstandsbereich. Eine Relation r ist eine Äquivalenzrelation genau dann, wenn sie die drei Eigenschaften der Reflexivität, Symmetrie und Transitivität besitzt. r ist reflexiv genau dann, wenn <u,u>∈r für jedes u∈DEF(r). r ist symmetrisch genau dann, wenn mit <u,v)∈r auch stets <v,u>∈r. Und r ist transitiv genau dann, wenn sich aus <u,v>∈r und <v,w>∈r immer <u,w>∈r ergibt. Für jedes Element x aus Def(r) wird die zugehörige Äquivalenzklasse xr definiert durch xr:={u: <x,u>∈r}. Jedes solche Element liegt dann in genau einer der Äquivalenzklassen, die somit eine vollständige und disjunkte (d.h. überschneidungsfreie) Zerlegung von Def(r) bilden. Ein linguistisches Beispiel für die Anwendung des Abstraktionsverfahrens mit einer Äquivalenzrelation ist der Übergang von Lauten zu Phonemen. Bei ihm werden nämlich solche Laute als äquivalent bzw. als Realisierungen desselben Phonems gewertet und in einer Menge zusammengefasst, die man in Wörtern weitgehend ohne Bedeutungsänderung wechselseitig füreinander einsetzen kann (vgl. die Phonemdefinition in Kindt 2010: 21– 22). Macht man nun Aussagen über die Eigenschaften eines bestimmten Phonems, dann ist damit eine vereinfachte Sprechweise dafür gegeben, dass diese Eigenschaften jedem zum Phonem gehörigen Laut zugesprochen werden.

An dieser Stelle soll ein weiteres Beschreibungsinteresse der Linguistik berücksichtigt und der Sequenz-, der Ketten-und der Verkettungsbegriff eingeführt werden. Zunächst lässt sich jede gesprochene bzw. geschriebene Äußerung als eine zeitlich bzw. räumlich positionierte Menge von Zeichen (im unilateralen Sinne) darstellen, d.h. als eine Funktion, die den jeweiligen Positionen Zeichen zuordnet. Je nach Modellierungsziel sind dafür Zeicheneinheiten unterschiedlicher Größe anzusetzen. Unabhängig von der Unterteilung, die Kommunikationsbeteiligte vornehmen, sollen jetzt exemplarisch Laute bzw. Buchstaben als kleinste Zeichen gesprochener bzw. geschriebener bzw. Äußerungen angenommen werden. Dabei ist zu berücksichtigen, dass Äußerungsteile dadurch voneinander abgetrennt sein können, dass kurzzeitig geschwiegen wird bzw. dass bestimmte Äußerungspositionen unbeschrieben bleiben. Ein in diesem Sinne fehlendes Produktionsresultat lässt sich mit einer Produktion der leeren Menge als ‚Leerzeichen‘ identifizieren. Weiterhin sollen die zeitlichen bzw. räumlichen Zeichenpositionen der Einfachheit halber mit natürlichen Zahlen nummeriert werden. Somit ist die gesamte Produktion einer Äußerung eine endliche Zeichenfolge und speziell bilden Teiläußerungen dann jeweils in ihrer Nummerierung zusammenhängende Teilmengen dieser Folge. Derartige Teilmengen von Folgen sollen auch Sequenzen heißen. Die spezielle Nummerierung in Zeichensequenzen spielt aber in linguistischen Zusammenhängen zumeist keine Rolle. Insofern kann man von ihr abstrahieren und den Kettenbegriff einführen. Zwei Sequenzen f und g gelten als äquivalent genau dann, wenn sie dieselbe Länge haben und wenn es eine natürliche Zahl i mit der Eigenschaft gibt, dass f(j)=g(i+j) für alle j∈DEF(f) oder f(j)=g(i-j) für alle solche j. Insofern lassen sich Äußerungen und zusammenhängende Äußerungsteile auch jeweils als Zeichenketten auffassen. Zeichenketten notiert man durch Hintereinanderschreiben der Zeichen (z.B. „abacbc“) und diese Schreibweise wird auch benutzt, um die Operation der Verkettung (Konkatenation) einzuführen. Bei einer mengentheoretischen Definition dieser Operation müsste aber für die Verkettung einer Sequenz f nach rechts durch eine Sequenz g (notiert als f+g) ggf. zunächst die Nummerierung in g so geändert werden, dass sie unmittelbar an die Nummerierung in f anschließt; die durch diese Änderung hervorgehende Sequenz g’ wird dann mit f vereinigt. Eine genaue Darstellung dieses Verfahrens kann man sich ersparen, wenn die Verkettung z.B. der Sequenzen aba und cbc von vornherein durch aba+cbc:=abacbc definiert wird.

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Als Nächstes wird der Strukturbegriff eingeführt. Eine Struktur ist ein geordnetes Paar <X,R>, das aus einem nichtleeren Individuenbereich X und einer nichtleeren Menge R von zu X gehörigen Relationen besteht. Das bisherige Relationskonzept wird aber noch dadurch erweitert, dass man bezogen auf X ein Stelligkeitskonzept einführt und dabei auch einstellige Relationen zulässt. Hierzu wird für jede natürliche Zahl n eine Menge Xn definiert und jede Teilmenge von Xn als n-stellige Relation über X aufgefasst. Xn definiert man rekursiv und setzt zunächst X1:=X. Einstellige Relationen (bzw. Eigenschaften) sind also Teilmengen von X. Ist Xn für die Zahl n schon ermittelt, wird die Menge Xn+1 für n+1 definiert als die Menge Xn⊗X, also der Menge der geordneten Paare <u,v> mit u∈Xn und v∈X. Insbesondere ist X2 identisch mit der Menge X⊗X der aus Elementen von X gebildeten geordneten Paare. Die Elemente von Xn werden auch n-tupel genannt und analog zu der schon eingeführten Schreibweise bei Tripeln nichthierarchisch notiert.

Für eine Beschreibung linguistisch relevanter Beziehungen hat die eben eingeführte Version mehrstelliger Relationen den Nachteil, dass sie reihenfolgeabhängig formuliert ist und für jede Relation eine feste Stellenzahl vorsieht. Fasst man z.B. die Bedeutung des Verbs vorschlagen im Satz Wolfgang schlägt Christian Nicola vor als eine dreistellig verwendete Relation auf, dann ist man mit dem Problem konfrontiert, dass dieses Verb mit unterschiedlicher Stelligkeit vorkommt (so nämlich auch zweistellig in Wolfgang schlägt Nicola vor) und dass man – um Eindeutigkeit herzustellen – für die Komponenten der n-tupel der Relation fest vereinbaren müsste, bei welcher Komponentenposition welche semantische Rolle der Referenzobjekte eingenommen werden soll. Als Modellierungsalternative bietet sich für solche Fälle die Einführung rollenabhängiger Relationen an. Hierzu definiert man zunächst die Menge yX als die Menge aller Funktionen f mit DEF(f)⊂y und WERT(f)⊂X. Die betreffenden Funktionen nennt man auch Familien; sie stellen eine naheliegende Verallgemeinerung des Folgenkonzepts dar, weil statt nur natürlicher Zahlen beliebige Merkmale zur Markierung von Individuen verwendet werden. Sodann fasst man eine Teilmenge r von yX als rollenabhängige Relation über X auf, falls jedes Merkmal m aus y wenigstens in einem Definitionsbereich der Familien aus r vorkommt (anderenfalls könnte man auf das Rollenmerkmal m verzichten und y von vornherein verkleinern). Übrigens lassen sich n-stellige Relationen der üblichen Version auch als Spezialfälle von rollenabhängigen Relationen auffassen, weil man die n-tupel aus Xn in der Mengentheorie i.Allg. mit korrespondierenden Folgen f aus nX identifiziert; beispielweise wird dann kein Unterschied zwischen dem Tripel <x,y,z> und der Folge {<1,x>,<2,y>,<3,z>} mehr gemacht.

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Ein anderes Problem des bisherigen Relationskonzepts für die Linguistik besteht darin, dass die mit ihm verbundene extensionale Darstellung von Beziehungen nicht den Gegebenheiten menschlich konstituierter Strukturen entspricht. Dass ein gerade wahrgenommener Gegenstand x z.B. die Eigenschaft besitzt, grün zu sein, wird nämlich nicht dadurch erkannt, dass man überprüft, ob er ein Element der Menge der in der momentanen Situation als grün einzustufenden Individuen ist. Vielmehr gibt es eine Funktion, die bewirkt, dass x ein mentales Objekt e zugeordnet werden kann, das die Eigenschaft grün zu sein repräsentiert. Eine geeignete Modifikation des Strukturkonzepts lässt sich dann dadurch erreichen, dass man die Relationenkomponente R durch eine Relation E ersetzt, die einschlägigen Familien von Elementen aus X jeweils bestimmte Eigenschaften bzw. deren Repräsentationen zuordnet. Zu einer solchen intensional zu nennenden Relationsdarstellung lässt sich auch eine korrespondierende extensionale Darstellung angeben. Hierzu muss man nur für jede Eigenschaft e aus dem Wertebereich von E als Extension von e die Menge E-1[e] ermitteln. Überdies ist mit der intensionalen Strukturdarstellung bereits ein erster Schritt in Richtung auf die nachfolgende Systemdefinition gemacht. Das so modifizierte Strukturkonzept bildet nämlich einen Spezialfall von Input-Output-Systemen, weil hier die Objektzuordnung mithilfe der Relation E noch zustandsunabhängig ist; so gesehen sind Strukturen statische Systeme.

2.2Sequenzielle Input-Output-Systeme

2.2.1Systemdefinition

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Anders als bei Hinrichsen und Pritchard (2005) sollen hier der Einfachheit halber nur sequenzielle Input-Output-Systeme betrachtet werden, die in diskreten Verarbeitungsschritten agieren. Ein solches System S ist durch vier Komponenten bestimmt. Die erste Komponente gibt als Zeitraum für die Beobachtung des Verhaltens von S einen Bereich T von Zeitpunkten an, die i.Allg. durch reelle Zahlen dargestellt und zur Angabe von Beginn und Ende der jeweiligen Verarbeitungsschritte verwendet werden. Als zweite Komponente dient eine Menge Z der in T möglichen Zustände von S. Die dritte Komponente X besteht aus den Objekten, die als Input und/oder Output der Verarbeitung fungieren können. Dabei soll im Unterschied zu Darstellungen in der Literatur offen bleiben, inwieweit diese Objekte ausschließlich in einer externen Systemumgebung liegen oder ob alle oder zumindest einige von ihnen zu bestimmten Zuständen aus Z gehören. In linguistisch relevanten Systemen können nämlich – wie schon in Abschnitt 1.2 begründet wurde – neben Umgebungsobjekten auch Zustandselemente, also z.B. mental repräsentierte Sachverhalte, als Input ‚rezipiert‘ oder als innerer Bedeutungsoutput ‚produziert‘ werden. X ist dann in eine Menge U von Umweltobjekten und in die Differenzmenge X– U von systeminternen Objekten zu zerlegen. Dabei lässt sich die Umwelt U von S mithilfe von X und Z dadurch ermitteln, dass man aus X alle Zustandselemente entfernt; formal dargestellt heißt das: U:=X– {v: es gibt ein z∈Z mit v∈z}. U ist überdies häufig dadurch bestimmt, dass in der ‚Nähe‘ von S andere Systeme liegen, die durch ihre Outputobjekte bei Vorliegen geeigneter Kopplungsbedingungen Einfluss auf S nehmen können. Üblicherweise werden in Systemdefinitionen die Menge der Inputobjekte und die der Outputwerte getrennt angegeben. Weil es in linguistischen Anwendungen aber häufig Überlappungen beider Mengen gibt, soll hier auf eine Trennung verzichtet werden. Eine Effektrelation E (auch Entwicklungs-oder Übergangsrelation genannt) bildet die vierte Komponente von S; die durch sie bewirkten Resultate können zeit-, zustands-und inputabhängig sein. Die Elemente des Definitionsbereichs von E bilden also Tripel des Typs <t,z,x> mit t∈T, z∈Z und x∈X. Aber auch die Zuordnungsresultate von E sind solche Tripel. Im Prinzip ist eine explizite Angabe der drei Systemkomponenten T, Z und X eigentlich unnötig, weil sie sich aus Definitions-und Wertebereich von E rekonstruieren lassen. Bei einer Anwendung von E auf <t,z,x> mit dem Effekt <t’,z’,x’> wird dem zum Zeitpunkt t vorliegenden Input x in Abhängigkeit vom Zustand z der Output x’ zugeordnet, nach Verarbeitung von x und Produktion von x’ ist der Zeitpunkt t’ (mit t’>t) erreicht und der Zustand z hat sich zu z’ entwickelt.

Zusammenfassend dargestellt besteht ein sequenzielles Input-Output-System S=<T,Z,X,E> also aus den vier nichtleeren Komponenten T, X, Z, E mit der Eigenschaft, dass E eine nichtleere sechsstellige Relation mit DEF(E)⊂T⊗Z⊗X und WERT(E)⊂T⊗Z⊗X bildet und dass t’>t im Fall von <<t,z,x>,<t’,z’,x’>>∈E. Weitere einschränkende Bedingungen werden nicht gemacht. Üblicherweise nimmt man zwar an, dass der Definitionsbereich von E mit T⊗Z⊗X identisch ist. Das bedeutet aber einen Verzicht auf die für linguistische Zwecke wichtige Modellierung des Umstands, dass nicht zu jedem Zeitpunkt und bei jedem Zustand sämtliche Objekte aus X als Input zugänglich sind und dass ein System selbst steuern kann, welche der vorliegenden Objekte es in welcher Reihenfolge verarbeitet. Insbesondere ist zugelassen, dass auch die leere Menge 0 zu X gehört und als Input fungiert; damit lässt sich z.B. der relevante Umstand erfassen, dass Menschen einen vor ihnen liegenden Text nicht lesen können, weil sie ihre Augen geschlossen oder ihre Brille nicht aufgesetzt haben. Sind Nachfolgezustand und Outputreaktion bei E stets eindeutig bestimmt, spricht man von einem deterministischen, anderenfalls von einem nichtdeterministischen System. Ein System, das im betrachteten Zeitraum seinen Zustand nicht ändert, heißt statisch.

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Obwohl Input-Output-Systeme auch eine spezielle Art von Strukturen bilden, verbindet man mit ihnen ein anderes Beschreibungs-und Modellierungsinteresse als mit allgemeinen Strukturen. Solche Systeme werden nämlich für die Darstellung von Prozessen verwendet. Zu diesem Zweck fasst man jede Zuordnung eines Tripel <t’,z’,x’> zu dem Tripel <t,z,x> gemäß E als einen möglichen Entwicklungsschritt der im System durchführbaren Prozesse auf und unterstellt zugleich, dass jeder dieser Schritte eine bestimmte Zeit dauert. Eine Modellvorstellung für die sukzessive Systemverarbeitung ist dann folgendermaßen zu formulieren. Befindet sich das betreffende System zum Zeitpunkt t im Zustand z, dann lässt sich von Objekten aus X evtl. nur ein bestimmter Teil fokussieren und verarbeiten. Die Teilmenge aller u mit <t,z,u>∈DEF(E) soll der Fokus von S bei t und z genannt und mit FOK(S,t,z) notiert werden; diesen auch in der Psychologie üblichen Fokusbegriff muss man aber von dem in der Linguistik verwendeten unterscheiden (vgl. Abschnitt 3.4). Falls der Fokus leer ist, bildet z einen Endzustand von S, der keine Systementwicklung mehr zulässt. Anderenfalls kann als Input ein x∈FOK(S,t,z) und ein zugehöriger Verarbeitungsschritt mit einem Tripel <t’,z’,x’>∈E[<t,z,x>] ausgewählt werden; dabei ist t’ der nächste zu betrachtende Zeitpunkt, z’ der Nachfolgezustand und x’ das Outputresultat. Die gleiche Prozedur lässt sich anschließend ausgehend von t’ und z’ evtl. erneut durchführen und maximal so lange wiederholen, bis ein Endzustand von S erreicht ist. Ein Verarbeitungsprozess ist also eine Kette von aneinander anschließenden Verarbeitungsschritten und er operiert über den vier Systemgrößen Input, Output, Zeit und Zustand. Die Frage, welche unterschiedlichen Möglichkeiten der Interaktion von Prozessen es gibt und wie sie sich auswirken, wird mittlerweile in einem speziellen mathematischen Ansatz der Prozess-Algebra untersucht, auf den hier aber nicht eingegangen werden soll.

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Wie schon in Abschnitt 1.2 erwähnt wurde, bilden die sog. Automaten (vgl. etwa Homuth 1977) spezielle zeitunabhängige Input-Output-Systeme. Sie werden i.Allg. über endlichen Input-, Output-und Zustandsmengen (gedeutet als Alphabete) definiert und arbeiten zwar inkrementell, lassen aber wichtige Aspekte von Sprachverarbeitung unberücksichtigt. Das gilt u.a. für die Zeitabhängigkeit von Verarbeitungsprozessen und für Verarbeitungsrevisionen aufgrund neuer Informationen. Die erste Eigenschaft spielt z.B. eine wichtige Rolle, wenn es um die Fokussierung von Objekten geht oder um unterschiedliche Verarbeitungszeiten für vergleichbare Konstruktionen. Anders als Automaten sind die z.B. zur Einführung von Phrasenstrukturgrammatiken verwendeten und mit Ersetzungsregeln arbeitenden Semi-Thue-Systeme (vgl. etwa Maurer 1969) formal nicht als Input-Output-Systeme definiert; man kann sie aber in spezielle zeitunabhängige und monoton arbeitende Input-Output-Systeme umformulieren. Dasselbe gilt für Grammatikmodelle, die zusätzlich Transformations-oder Bewegungsregeln nutzen. Bei diesen Regeln ist noch weniger als bei Ersetzungsregeln davon auszugehen, dass sie sich als Verfahren der empirisch stattfindenden Verarbeitungsprozesse deuten lassen; z.B. spricht die inkrementelle Verarbeitung in Produktion und Rezeption dagegen, dass man die Erstposition eines Satzglieds auf eine Bewegung aus einer syntaktischen Struktur mit einer anderen primären Wortstellung zurückführt.

2.2.2Weitere linguistisch wichtige Eigenschaften von Systemen

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Ein System soll fokusdeterminiert heißen, wenn bei jedem Zeitpunkt und jedem Zustand der Fokus entweder leer ist oder nur aus einem Element besteht. Analog dazu kann man ein deterministisches System auch effektdeterminiert nennen, weil seine Effektrelation eine Funktion bildet. Auch wenn ein reales, empirisch zu untersuchendes System fokus-und/oder effektdeterminiert ist, wird man nicht immer alle die Effektfunktion steuernden Faktoren kennen oder sich bei bestimmten Zielsetzungen nicht genauer für sie interessieren. In solchen Fällen konstruiert man dann ein hinsichtlich Fokus und/oder Effektrelation nichtdeterminiertes Modell. Bei einem deterministischen System lässt sich die Effektrelation dagegen in drei Einzelfunktionen aufspalten, die Tripeln <t,z,x> getrennt den nach der Verarbeitung erreichten Zeitpunkt, den neuen Zustand und das Outputresultat zuordnen. Die für die synchrone Linguistik einschlägigen Systeme sind i.Allg. effektbezogen zeitinvariant. Das bedeutet, dass in einem solchen System für jeden Zustand z und jeden Input x die Zuordnungsresultate nicht vom gewählten Zeitpunkt abhängen; wenn also die Tripel <t1,z,x> und <t2,z,x> für beliebige t1 und t2 beide im Definitionsbereich der Effektrelation E liegen, dann gilt stets E[<t1,z,x>]=E[<t2,z,x>]. Unabhängig von den eben genannten generellen Systemeigenschaften muss man bei den einzelnen Verarbeitungsschritten aber mit unterschiedlichen Eigenschaften rechnen. Wird ein Input x aus dem Fokus eines Systems S bei t und z verarbeitet, dann gibt es zumindest ein Zuordnungsresultat <t’,z’,x’>. Falls dabei x≠0, x’=0 und z’=z gilt, so ist wegen t’>t zwar die Zeit fortgeschritten, aber die Wahrnehmung von x hat sonst zu keiner Veränderung geführt. Sofern außerdem x=0 gilt, kann man sagen, dass sich S im ‚momentanen Ruhestand‘ befindet und dass im strikten Sinne überhaupt keine Verarbeitung vorgenommen wurde. Den Fall x=0, x’=0 und z’≠z nennt man einen spontanen Zustandsübergang. Relevantere Arten der Verarbeitung liegen vor, wenn x≠0, x’≠0 und evtl. z’≠z gilt. Dabei ist der besonders interessante aktualgenetische Fall dann gegeben, wenn der als Primäreffekt der Verarbeitung von x zu wählende Output x’ von z abhängt (d.h. andere mögliche Zustände führen nicht stets zu x’). Zugleich kann x sekundär zu einer Zustandsänderung führen und damit ggf. die spätere Wahl und/oder Verarbeitung eines nachfolgenden Inputs unmittelbar beeinflussen.

Natürlichsprachige Kommunikation vollzieht sich zumindest großteils in regelgeleiteten Systemen. Deshalb muss es für ein solches System S eine nichtleere Teilrelation R von E geben, die alle regelgerechten Systemübergänge repräsentiert; R bezeichnet man dann als Regelsystem und bestimmte Teilmengen von R, die vergleichbare Systemübergänge zusammenfassen, als Regeln. Empirisch sollte auch immer untersucht werden, unter welchen Bedingungen regelwidrige Übergänge vorkommen. R selbst lässt sich aber nicht durch Beobachtung des Verhaltens von S ermitteln. Vielmehr muss man dazu das Verarbeitungsverhalten aller Angehörigen der betreffenden Sprachgemeinschaft beobachten bzw. von der Untersuchung des Verhaltens bei genügend vielen Personen aus dieser Gemeinschaft induktiv auf dort geltende Regeln schließen. Genauso gehen im Prinzip ja auch Kleinkinder vor, wenn sie kommunikative Regeln aufgrund der Beobachtung des Sprachgebrauchs u.a. ihrer Eltern erlernen. Wie in Abschnitt 1.2.3 gezeigt wurde, wendet man bei der Sprachverarbeitung neben generell geltenden Regeln auch oft Normallfall-Prinzipien an, die ebenfalls durch eine induktive Generalisierung von Verhaltensbeobachtungen in der betreffenden Sprachgemeinschaft ermittelt werden müssen und die sich bei einem Einzelsystem S analog zu R in einer von R verschiedenen Teilrelation P von E zusammenfassen lassen. Von Regeln und Prinzipien zu unterscheiden sind schließlich individuelle Strategien in S. Darunter kann man nichtleere Teilrelationen von E verstehen, die vergleichbare Systemübergänge zusammenfassen und eine Funktion bilden. Strategien heißen regel-bzw. prinzipienkonform, wenn sie eine Teilmenge von R bzw. P bilden ist. Somit ist auch der wichtige Fall berücksichtigt, dass Strategien regel-oder prinzipienwidrige Übergänge empfehlen.

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Wenn man Angehörige einer Sprachgemeinschaft als zeitinvariante Input-Output-Systeme auffasst, lassen sich viele relevante Eigenschaften von Äußerungsverarbeitung und Kommunikation empirisch angemessen beschreiben und modellieren. Das soll nochmals an bestimmten Phänomenen illustriert werden. Den primären Anlass für systemtheoretische Untersuchungen bilden die Inkrementalität und der Prozesscharakter von Sprachverarbeitung. Dabei sind ggf. auch außersprachliche Einflussfaktoren und die durch sie bedingten Teilprozesse zu berücksichtigen. Die Systemdefinition bietet somit einen geeigneten theoretischen Rahmen für die empirische Untersuchung von Fragen der Art, wie sich die Werte einer Systemgröße bei einem oder mehreren Verarbeitungsschritten auf die Werte anderer Größen auswirken oder – anders gesagt – welche Abhängigkeitsbeziehungen zwischen den betreffenden Systemgrößen und ihren Werten bestehen. Dabei ist davon auszugehen, dass Inputs, Outputs und Zustände häufig aus verschiedenen Komponenten mit zugehörigen verarbeitungsrelevanten Eigenschaften bestehen und dass deshalb komplexe Abhängigkeitsverhältnisse vorliegen können.

In einem System S bestimmen jeweils der Zeitpunkt t und der Zustand z darüber, welche Objekte aus X momentan fokussierbar sind. So lässt sich u.a. die Zeitabhängigkeit der Geltung verarbeiteter externer Sachverhalte erfassen und damit z.B. die eventuelle Notwendigkeit einer Korrektur noch während einer Äußerung (so etwa in der Äußerung Da ist eine Maus, nein, jetzt ist sie schon weg). Von z hängen dagegen z.B. die jeweils gewählte Blickrichtung und der Aufmerksamkeitsgrad ab. Die Relevanz von letzterem Wert zeigt sich besonders deutlich beim Phänomen der illusionären Konjunktion (vgl. Treisman und Schmidt 1982), das darin besteht, dass eine zu geringe Aufmerksamkeit bei der Wahrnehmung eines aus zwei Objekten bestehenden Inputs zu Verwechslungen führen kann: Statt korrekterweise Der Kreis ist rot und das Dreieck grün wird dann evtl. Der Kreis ist grün und das Dreieck rot geäußert. Eine illusionäre Konjunktion lässt sich aber dadurch vermeiden, dass man die beiden zu beschreibenden Objekte nach einer ersten gemeinsamen Fokussierung in einem zweiten und dritten Schritt nacheinander verarbeitet. Genereller ist die Zustandsabhängigkeit des Fokus auch linguistisch von besonderer Bedeutung, weil sich gängige Fokussierungsstrategien in der Kommunikation auf diese Weise erfassen lassen. Das betrifft z.B. das konventionalisierte Verfahren beim Lesen von Texten mit der Leserichtung von links nach rechts, aber ebenso die erneute Fokussierung eines Äußerungsteils oder seiner mentalen Repräsentation bei Garden-Path-Sätzen.

Die systemexternen Objekte aus X setzen sich oft aus sprachlichen und nichtsprachlichen Anteilen zusammen. So werden bei der Rezeption einer Äußerung A neben A häufig noch weitere externe Informationen verarbeitet, von denen möglicherweise die Interpretation von A z.B. für das Ziel einer Referenzherstellung abhängt. Solche Informationen beeinflussen aber auch wesentlich die Zustandsentwicklung und haben evtl. eigene, von der Bedeutung von A unabhängige Outputanteile, z.B. wenn während der Rezeption ein externes Geschehen beobachtet wird. Bei einer mündlichen Äußerung A ist natürlich auch die Prosodie wichtig: Sie kann bedeutungsrelevant sein und/oder auf den emotionalen Zustand des/der Rezipierenden einwirken. Speziell für die kommunikative Dynamik ist von Bedeutung, welche Faktoren in A evtl. zu einem Sprecherwechsel führen (also u.a. die Frageintonation, die syntaktische Form oder ein Verzögerungssignal).

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Dass verschiedene Elemente eines Zustands, also insbesondere bestimmte Wissensbestände und Emotionen, relevante Kontextfaktoren für die jeweilige Inputverarbeitung bilden können, wurde schon thematisiert. Zusätzlich müssen psycholinguistische Untersuchungen aber klären, welche Arten von Zustandselementen fokussierbar sind und ob neben der mentalen Bedeutung einer Äußerung A noch andere Rezeptionsresultate dem inneren Output angehören. Bekannt ist z.B., dass sich Menschen an die Bedeutung einer Aussage besser erinnern als an deren syntaktische Eigenschaften. Das könnte heißen, dass die syntaktische Struktur von A, die als Grundlage für die Bedeutungsermittlung aufgebaut wird, nicht dem inneren Output zuzurechnen ist, weil man sie später nicht mehr benötigt und deshalb schnell ‚vergessen‘ darf. Während und unmittelbar nach der Rezeption von A müssen sich die jeweils schon aufgebauten Teile dieser Struktur aber fokussieren lassen, wie Rezeptionssignale und Reparaturen belegen.

2.2.3Das Haufenparadox und eine Modellierung von Vagheit

Nachfolgend soll ein konkretes System angegeben werden, mit dem sich im Prinzip ein wichtiges Phänomen der Dynamischen Semantik, nämlich die Vagheit von Wortbedeutungen, modellieren lässt. Dieses Phänomen ist deshalb linguistisch besonders interessant, weil sich beim Umgang mit vagen Begriffen Widersprüche ergeben können. Man muss also erklären, wie es zu diesen Widersprüchen kommt, und analysieren, ob bzw. wie sie zu vermeiden sind. Als Ausgangspunkt der Diskussion dient das sog. Haufenparadox, das bereits in der antiken griechischen Philosophie unter dem Namen „Sorites“ (Haufenbzw. Kettenschluss) bekannt war. Das Haufenparadox lässt sich z.B. in folgender Version erzählen. Auf einem Grundstück haben Bauarbeiter gerade einen aus sehr vielen Sandkörnern bestehenden Sandhaufen h aufgeschüttet und n sei die zugehörige Körneranzahl. Offensichtlich ist es für die Einstufung als Haufen irrelevant, ob h ein Sandkorn mehr oder weniger enthält. Deshalb scheint die Gesetzmäßigkeit G zu gelten: Wenn man von h ein Körnchen wegnimmt (genauso gut könnte man auch gleich 10 oder 20 Körnchen entfernen), dann ähnelt der verbleibende Sandrest noch h und er ist deshalb ebenfalls ein Sandhaufen. Aus der wiederholten bzw. n-1-maligen Nutzung von G für h und für die jeweils verkleinerten Haufen lässt sich allerdings inkorrekterweise ableiten, dass auch das letzte, noch übrigbleibende Sandkorn von h als ein Sandhaufen einzustufen ist. Hieraus lässt sich schließen: G kann nicht generell, sondern nur unter bestimmten zusätzlichen, noch zu präzisierenden Bedingungen gelten.

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Das am Sandhaufenbeispiel illustrierte Problem tritt in ähnlicher Weise generell bei vagen Ausdrücken auf. Ist der Gebrauch solcher Ausdrücke also zwangsläufig mit Widersprüchen verbunden oder kann die Anwendung der zugehörigen, zunächst als plausibel erscheinenden Gesetzmäßigkeiten irgendwie eingeschränkt werden? Zur Beantwortung dieser Frage soll zunächst ein anderes, zwar erfundenes, aber trotzdem realistisches Beispiel dienen, das nahelegt, dass Kommunikationsbeteiligte durchaus reflektiert mit entsprechenden Kettenschlüssen umgehen (vgl. Kindt 1985b: 122). Ein Gastgeber namens Harry hat für den Abend neun Gäste eingeladen und zum Essen 30 belegte Brötchen vorbereitet. Er rechnet also damit, dass im Durchschnitt jeder der zehn Anwesenden drei Brötchen isst; diese Zahl hält er aufgrund bisheriger Erfahrungen für ausreichend. Nun kommt der erste Gast und bringt seinen überraschend angereisten Freund mit. Harry sagt: Das macht nichts. Wo zehn satt werden sollen, reicht das Essen auch für elf. Als allerdings der nächste Gast eintrifft und eine nicht eingeladene Bekannte dabeihat, wird Harry wahrscheinlich schon nachdenklich. Aus Höflichkeit sagt er dann zwar: Naja, auf eine Person mehr oder weniger kommt es nicht an. Insgeheim denkt er aber wohl: Hoffentlich geht das bloß nicht so weiter. Wenn jetzt noch – wie manchmal – meine Kollegin Mary spontan vorbeikommen sollte, dann wird es mit den Brötchen schon kritisch. Nicht auszudenken aber, wie peinlich es wäre, wenn plötzlich 20 Leute anwesend sind. Von 1 1/2 Brötchen kann schließlich keiner satt werden. Die Situation für Harry ist also schwieriger als diejenige, die in dem Ratschlag einer bekannten Spruchweisheit dargestellt wird: Fünf sind geladen, zehn gekommen. Gieß Wasser zur Suppe, heiß alle willkommen.

Das Brötchenbeispiel deutet darauf hin, dass man zwar bereit ist, die Extension eines vagen Begriffs dynamisch nach dem lokal kontextuellen Prinzip „Auf ein x mehr oder weniger kommt es nicht an“ bzw. nach dem in Abschnitt 1.2.1 erwähnten Gestaltprinzip der Ähnlichkeit durch in ihren Eigenschaften ähnliche Objekte zu erweitern, solange man sich dadurch nicht zu weit von seinem Ausgangsurteil entfernt. Spätestens aber, wenn man in die Nähe des gegenteiligen Urteils kommt und eindeutig unähnliche Objekte in die Extension aufnehmen würde, hört die Toleranz gegenüber derartigen lokalen Erweiterungen i.Allg. auf. Dabei lassen sich Nähe und Distanz als topologische Konzepte explizieren und insofern kann man Vagheit topologisch modellieren (für einen entsprechenden Vorschlag zur Auflösung des Haufenparadoxes vgl. auch Kindt 1985b: 123ff). Ein erstes Charakteristikum vager Ausdrücke ist, dass es für ihre Interpretation jeweils einen prototypisch positiven und einen negativen Bereich mit stabilen, vielfach zustandsunabhängigen Geltungsurteilen gibt und dass zwischen ihnen ein Unbestimmtheitsbereich mit unsicheren oder zustandsabhängigen Urteilen liegt. Die beiden Bereiche können allerdings teilnehmerabhängig unterschiedlich ausfallen. So machen befragte Personen je nach eigenem Alter oder momentaner Perspektive teilweise differierende Angaben darüber, wann sie jemanden eindeutig als alt bzw. als nicht alt einstufen. Häufig gelten Menschen aber als noch nicht bzw. schon als alt, wenn ihr Alter zwischen 40 und 50 bzw. zwischen 60 und 70 Jahren liegt.

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Wenn man dementsprechend z.B. einen 50-Jährigen als nicht alt eingestuft hat, müsste man bei einem 51-Jährigen eigentlich zu demselben Urteil kommen. Insofern besteht ein zweites Charakteristikum vager Ausdrücke darin, dass es oftmals keine zustandsunabhängigen festen Grenzen für den Übergang der beiden prototypischen Geltungsbereiche zum Unbestimmtheitsbereich gibt.

Für eine exemplarische systemtheoretische Modellierung des Adjektivs alt kann man sich vorstellen, dass einer Person P als Input Fragen des Typs F(n) Ist man mit n Jahren alt? vorgelegt werden, die sie mit einem Output ja oder nein oder weiß nicht beantworten soll. Weiterhin wird vorausgesetzt, dass P im Normalfall Menschen mit einem Alter bis 45 immer eindeutig als nicht alt einstuft und ab 65 immer eindeutig als schon alt. Hauptsächliches Ziel der Modellierung ist es, eine zustandsabhängige Funktion A(z,n) zu definieren, die für bestimmte Zustände z und Altersangaben n eine zwar nicht empirisch überprüfte, aber im Sinne der obigen Überlegungen plausible Antwort auf F(n) angibt. Zugelassen sind Fragen F(n) für 45 ≤ n ≤ 65 und als Zustände fungieren geordnete Paare z = <z1,z2> mit 45 ≤ z1 ≤ 65 und z2 = ja oder z2 = nein. Dabei wird im Einklang mit der genannten Voraussetzung <45, nein> als Anfangszustand gewählt. Zudem ist z genau dann ein zulässiger Nachfolgezustand, wenn sich die letzte vorherige Frage, die P mit ja oder nein beantwortet hat, auf das Alter z1 bezog und die Antwort z2 erhielt. Im Wesentlichen bedeutet z für die Berechnung von A(z,n), dass P F(n) noch mit z2 beantworten darf, falls der Abstand a von n zu z1 nicht zu groß ist (lokale Kontextbedingung) und falls außerdem der Abstand a* zwischen n und dem minimalen, immer zur gegenteiligen Antwort gehörigen Alter nicht zu klein wird (globale Kontextbedingung). Beispielhaft soll für a der Wert 5 Jahre gewählt werden und für a* der Wert 11 Jahre. Um die Funktion A(z,n) formal genau zu definieren, kann man in Abhängigkeit des Werts von z2 jeweils drei Fälle unterscheiden. Wenn z2 = nein, wird vereinbart:

A(z,n) := nein, falls 45 ≤ n ≤ z1+5 und n ≤ 56.

A(z,n) := ja, falls 60 ≤ n ≤ 65.

A(z,n) := weiß nicht sonst.

Die drei Fälle für z2 = ja lassen sich dann so definieren:

A(z,n) := ja, falls z1 – 5 ≤ n ≤ 65 und n ≥ 54.

A(z,n) := nein, falls 45 ≤ n ≤ 50.

A(z,n) := weiß nicht sonst.

Zudem wird der bei Beantwortung von F(n) entstehende Nachfolgezustand N(z,n) definiert durch:

N(z,n) := <n,A(z,n)>, falls A(z,n) = nein oder A(z,n) = ja.

N(z,n) := z, falls A(z,n) = weiß nicht.

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Schließlich ergibt sich aus A und N folgende Definition für die zeitunabhängige Effektfunktion E des gewünschten Modells:

E(z,F(n)) := <N(z,n),A(z,n).

Die Funktionsweise des Modells wird nachfolgend am Beispiel eines einfachen mehrschrittigen Verarbeitungsprozesses illustriert. In dem Prozess sollen zunächst sukzessiv als Inputobjekte die fünf Fragen x1=F(49), x2=F(53), x3=F(56), x4=F(57) und x5=F(61) beantwortet werden und danach der Reihe nach wieder x4, x3, x2 und x1. Da <45, nein> als Anfangszustand gewählt wird, ergibt sich folgender Prozessverlauf.

F(49) erhält die Antwort nein und führt zum Zustand <49, nein>.

F(53) erhält die Antwort nein und führt zum Zustand <53, nein>, hätte aber bei <45,

nein> die Antwort weiß nicht erhalten.

F(56) erhält die Antwort nein und führt zum Zustand <56, nein>.

F(57) erhält die Antwort weiß nicht und führt zum Zustand <56, nein>.

F(61) erhält die Antwort ja und führt zum Zustand <61, ja>.

F(57) erhält die Antwort ja und führt zum Zustand <57, ja>.

F(56) erhält die Antwort ja und führt zum Zustand <56, ja>.

F(53) erhält die Antwort weiß nicht und führt zum Zustand <56, ja>.

F(49) erhält die Antwort nein und führt zum Zustand <49, nein>.

Der dargestellte Prozessverlauf demonstriert drei wichtige dynamische Eigenschaften von Vagheit. Erstens die Möglichkeit einer sukzessiven Ausbreitung eindeutiger Antworten noch in den Unbestimmtheitsbereich. Zweitens den Umstand, dass diese Antworten allenfalls in den Randgebieten dieses Bereichs unabhängig von der Annäherungsrichtung konstant sind; im Prozessbeispiel gilt dies nur für F(49). Und drittens die aus der Physik z.B. für elastische Deformationen und Magnetisierungen bekannte und für nichtlineare Systeme charakteristische Hysteresiseigenschaft als spezielles Trägheitsphänomen: Geht man eine schrittweise verarbeitete Objektsequenz in umgekehrter Reihenfolge zurück, so können die Verarbeitungsresultate teilweise aufgrund der lokalen Kontextabhängigkeit von den Resultaten auf dem Hinweg abweichen und es bedarf eines stärkeren Einflusses des globalen Kontextes, um wieder identische Resultate zu erreichen; im Beispiel gilt das für F(53), F(56) und F(57). Eine ähnliche und empirisch unmittelbar überprüfbare Hysteresiseigenschaft diskutiert z.B. Poston (1987: 25) ausführlich für die visuelle Wahrnehmung komplexer ambiger Figurenfolgen. Diese Eigenschaft lässt sich aber auch schon an kürzeren Figurenfolgen veranschaulichen (vgl. etwa Legewie und Ehlers 1992: 86).