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Das Problem der Kurvenanpassung

Das Balancieren der Ansprüche der Einfachheit und der Genauigkeit

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Jens Paulßen

Gibt es ein verlässliches Entscheidungskriterium für die Wahl des Kurventyps bei einer Kurvenanpassung? Lässt sich Ockhams Rasiermesser vermittels dieses Kriteriums rechtfertigen? Existiert für dieses Kriterium eine wissenschaftstheoretische Rechtfertigung? Diese Fragen bilden das Zentrum des Problems der Kurvenanpassung. In dieser Arbeit werden die Lösungsansätze von Turney sowie Forster und Sober analysiert. Dabei werden gewisse Schwächen der Konzepte herausgearbeitet. Der Kern der Arbeit besteht aus der Entwicklung eines alternativen Lösungskonzepts, dessen Verlässlichkeit durch die bereits zuvor zur Analyse der bekannten Konzepte durchgeführten Computersimulationen aufgezeigt wird und das sich darüber hinaus wissenschaftstheoretisch rechtfertigen lässt. Forsters und Sobers Konzept basiert auf dem Akaike Information Criterion (AIC). Das hier entwickelte Konzept basiert hingegen auf dem Bayes Information Criterion (BIC). In dieser Arbeit werden abschließend erneute Computersimulationen durchgeführt, mithilfe derer die Qualität der bislang verwendeten Kriterien (AIC, BIC und Kreuzvalidierung) für den Fall kleiner Datenmengen analysiert werden.

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Inhaltsverzeichnis

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Vorwort v 1 Einleitung 1 2 Grundlagen 17 2.1 Formale Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Auffinden funktionaler Zusammenhänge vs. Veranschaulichung . 23 2.3 Approximationsgüte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Die Methode der kleinsten Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5 Verteilung und GLIWENKO-CANTELLI-Theorem . . . . . . . . . 35 2.6 Likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.7 Einfachheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.8 Fehlereinflüsse, Signal-Rauschen-Modell und Varianzschätzung . 47 3 Das Theorem von TURNEY 53 3.1 Parameteranzahl und Einfachheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 TURNEY-Theorem: Grundlagen und zentrale Aussage . . . . . . 55 3.3 Warum ist die Stabilität wünschenswert? . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Die Schwächen des TURNEY’schen Konzeptes . . . . . . . . . . 64 3.4.1 Einschränkung der Allgemeinheit in der Herleitung des Theorems von TURNEY . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4.2 Das Theorem von TURNEY als Entscheidungskriterium . 69 3.5 Fazit zum Theorem von TURNEY . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4 AIC-Statistik 75 4.1 Das AKAIKE-FORSTER-SOBER-Theorem . . . . . . . . . . 75 4.2 Voraussagegenauigkeit versus Voraussageerfolg . . . . . . . . . . 87 4.3 AKAIKE-FORSTER-SOBER-Theorem: Große Datenmengen . 90 4.4 Voraussagegenauigkeit und Varianz der Fehlerverteilung . . . . . 94 4.5 Die KIESEPPÄ’sche Kritik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 viii Inhaltsverzeichnis 4.6 Parameteranzahl und Entropie: Konzeptionelle Inkonsistenz? . . . 108 4.6.1 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.6.2 Relative Entropie: Der KULLBACK-LEIBLER-Abstand . . 110 4.6.3 SOBERs Einfachheitsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . 112 5 Simulationen: Das Konzept von FORSTER und SOBER 115 5.1 Simulationen I: Geschätzter Abstand zur wahren Kurve . . . . . . 115 5.2 Simulationen II: AKAIKE-FORSTER-SOBER-Theorem . . . . 132 5.3 Fazit zur AIC-Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6 Theorem von TURNEY versus AIC-Statistik 143 6.1 Voraussageerfolg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.2 Varianz der Fehlerverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3 Mangelnde Vereinheitlichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7 Das BAYES’sche Informationskriterium 151 7.1 Gewichtung der Einfachheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 7.2 Simulationen III: BAYES-Informationskriterium . . . . . . . . . 154 7.3 AIC versus BIC: Konzeptionelle Unterschiede . . . . . . . . . . . 157 7.4 BAYES-Informationskriterium: OCKHAMs Rasiermesser . . . . 162 8 AIC, BIC, Kreuzvalidierung und Voraussageerfolgs-Kriterium 169 8.1 Grundlegendes...

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