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Das Problem der Kurvenanpassung

Das Balancieren der Ansprüche der Einfachheit und der Genauigkeit

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Jens Paulßen

Gibt es ein verlässliches Entscheidungskriterium für die Wahl des Kurventyps bei einer Kurvenanpassung? Lässt sich Ockhams Rasiermesser vermittels dieses Kriteriums rechtfertigen? Existiert für dieses Kriterium eine wissenschaftstheoretische Rechtfertigung? Diese Fragen bilden das Zentrum des Problems der Kurvenanpassung. In dieser Arbeit werden die Lösungsansätze von Turney sowie Forster und Sober analysiert. Dabei werden gewisse Schwächen der Konzepte herausgearbeitet. Der Kern der Arbeit besteht aus der Entwicklung eines alternativen Lösungskonzepts, dessen Verlässlichkeit durch die bereits zuvor zur Analyse der bekannten Konzepte durchgeführten Computersimulationen aufgezeigt wird und das sich darüber hinaus wissenschaftstheoretisch rechtfertigen lässt. Forsters und Sobers Konzept basiert auf dem Akaike Information Criterion (AIC). Das hier entwickelte Konzept basiert hingegen auf dem Bayes Information Criterion (BIC). In dieser Arbeit werden abschließend erneute Computersimulationen durchgeführt, mithilfe derer die Qualität der bislang verwendeten Kriterien (AIC, BIC und Kreuzvalidierung) für den Fall kleiner Datenmengen analysiert werden.

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8. AIC, BIC, Kreuzvalidierung und das Kriterium des Voraussageerfolges

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8.1. Grundlegendes zur Bestätigung von Hypothesen Das entscheidende Kriterium zur Wahl eines Modells beziehungsweise zur Wahl einer Kurve aufgrund einer vorliegenden Datenmenge ist die Frage, wie gut das jeweils betrachtete Modell beziehungsweise die jeweils betrachtete Kurve durch die Daten bestätigt wird. Hierbei gibt es zwei zentrale Fragen: (F1) Welches Maß für die Bestätigung wird benutzt? (F2) Welche Daten sollten zu einer Bemessung der Bestätigung herangezogen werden? Die vorliegenden Daten wurden bereits für ein Fitting benutzt, so- dass sie nicht auch noch zur Bestätigung beziehungsweise Schwächung her- angezogen werden können. Für die Frage (F1) gibt es gewisse Standardantworten, die als logisches Kriterium der Bestätigung und als probabilistisches Kriterium der Bestätigung bezeichnet seien. Betrachten wir als Beispiel für das logische Kriterium den Satz: Jeder Tischtennis-Spieler verfügt über hervorragende Reaktionszeiten. (8.1) Die logische Formalisierung des Satzes (8.1) ergibt das folgende all-quanti-fizierte Konditional: ∀x(Fx⇒ Gx) , (8.2) wobei F die Eigenschaft bezeichnet, ein Tischtennis-Spieler zu sein und G die Ei- genschaft bezeichnet, über eine hervorragende Reaktionszeit zu verfügen. Beob- achten wir nun einen Tischtennis-Spieler, der tatsächlich über hervorragende Re- aktionszeiten verfügt - logisch also ein Individuum x, das den Satz Fx∧Gx erfüllt -, so betrachten wir die Hypothese (8.1) - beziehungsweise ihre logische Formali- sierung (8.2) - als schwach bestätigt. Diese positive Instanz bildet eine schwache 170 8. AIC, BIC, Kreuzvalidierung und Voraussageerfolgs-Kriterium Bestätigung, da die Anstellung weiterer Beobachtungen durchaus ein Gegenbei- spiel...

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