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Das Problem der Kurvenanpassung

Das Balancieren der Ansprüche der Einfachheit und der Genauigkeit

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Jens Paulßen

Gibt es ein verlässliches Entscheidungskriterium für die Wahl des Kurventyps bei einer Kurvenanpassung? Lässt sich Ockhams Rasiermesser vermittels dieses Kriteriums rechtfertigen? Existiert für dieses Kriterium eine wissenschaftstheoretische Rechtfertigung? Diese Fragen bilden das Zentrum des Problems der Kurvenanpassung. In dieser Arbeit werden die Lösungsansätze von Turney sowie Forster und Sober analysiert. Dabei werden gewisse Schwächen der Konzepte herausgearbeitet. Der Kern der Arbeit besteht aus der Entwicklung eines alternativen Lösungskonzepts, dessen Verlässlichkeit durch die bereits zuvor zur Analyse der bekannten Konzepte durchgeführten Computersimulationen aufgezeigt wird und das sich darüber hinaus wissenschaftstheoretisch rechtfertigen lässt. Forsters und Sobers Konzept basiert auf dem Akaike Information Criterion (AIC). Das hier entwickelte Konzept basiert hingegen auf dem Bayes Information Criterion (BIC). In dieser Arbeit werden abschließend erneute Computersimulationen durchgeführt, mithilfe derer die Qualität der bislang verwendeten Kriterien (AIC, BIC und Kreuzvalidierung) für den Fall kleiner Datenmengen analysiert werden.

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B. Zur Einschränkung der Allgemeinheit in der Herleitung des Theorems von TURNEY

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In Kapitel 3.4.1 der vorliegenden Arbeit wurde dargestellt, dass für die Inver- tierbarkeit der Matrix XT X die Spaltenvektoren der Matrix X linear unabhängig sein müssen, das heißt keiner der Spaltenvektoren lässt sich als Linearkombinati- on der übrigen Spaltenvektoren darstellen.1 Betrachten wir die Spaltenvektoren xi, i = 1,2, . . . ,r, etwas näher: x1 =  x11 x21 x31 ... xn1  , x2 =  x12 x22 x32 ... xn2  , . . . , xr =  x1r x2r x3r ... xnr  . (B.1) Die Eingänge des Vektors x1 sind also die Werte der ersten Input-Variablen in den Experimenten 1,2, . . . ,n. Analog sind die Eingänge des Vektors x2 die Werte der zweiten Input-Variablen in den Experimenten 1,2, . . . ,n und die Eingänge des Vektors xr sind die Werte der r-ten Input-Variablen in den Experimenten 1,2, . . . ,n. Die für das TURNEY’sche Konzept notwendige Bedingung, dass die Spaltenvek- toren der Input-Matrix X linear unabhängig sind, lässt sich auch durch folgendes 1 Eine Menge von Vektoren {v1,v2, . . . ,vn} heißt linear unabhängig, falls aus λ1v1 +λ2v2 + . . .+λnvn = −→ 0 mit λ1,λ2, . . . ,λn ∈ R folgt: λ1 = λ2 = . . .= λn = 0. Andernfalls heißt sie linear abhängig. 214 Theorem von TURNEY: Einschränkung der Allgemeinheit lineares Gleichungssystem ausdrücken: λ1x11+λ2x12+ . . .+λrx1r = 0 λ1x21+λ2x22+ . . .+λrx2r = 0 ... λ1xn1+λ2xn2+ . . .+λrxnr = 0. (B.2) Die Spaltenvektoren der Input-Matrix X sind nämlich genau dann linear unab- hängig, wenn das lineare Gleichungssystem in (B.2) nur die triviale Lösung λ1 = λ2 = . . .= λr...

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