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Das Problem der Kurvenanpassung

Das Balancieren der Ansprüche der Einfachheit und der Genauigkeit

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Jens Paulßen

Gibt es ein verlässliches Entscheidungskriterium für die Wahl des Kurventyps bei einer Kurvenanpassung? Lässt sich Ockhams Rasiermesser vermittels dieses Kriteriums rechtfertigen? Existiert für dieses Kriterium eine wissenschaftstheoretische Rechtfertigung? Diese Fragen bilden das Zentrum des Problems der Kurvenanpassung. In dieser Arbeit werden die Lösungsansätze von Turney sowie Forster und Sober analysiert. Dabei werden gewisse Schwächen der Konzepte herausgearbeitet. Der Kern der Arbeit besteht aus der Entwicklung eines alternativen Lösungskonzepts, dessen Verlässlichkeit durch die bereits zuvor zur Analyse der bekannten Konzepte durchgeführten Computersimulationen aufgezeigt wird und das sich darüber hinaus wissenschaftstheoretisch rechtfertigen lässt. Forsters und Sobers Konzept basiert auf dem Akaike Information Criterion (AIC). Das hier entwickelte Konzept basiert hingegen auf dem Bayes Information Criterion (BIC). In dieser Arbeit werden abschließend erneute Computersimulationen durchgeführt, mithilfe derer die Qualität der bislang verwendeten Kriterien (AIC, BIC und Kreuzvalidierung) für den Fall kleiner Datenmengen analysiert werden.

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D. Delete-d-Kreuzvalidierung und BAYES’sches Informationskriterium

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In Kapitel 8.3 wurde in Form von Gleichung (8.7) ein Wert für die Zahl d ange- geben, sodass bei einer Datenmenge mit n Datenpunkten die Delete-d-Kreuzvali- dierung äquivalent ist zum BAYES’schen Informationskriterium: d = n− n ln(n)−1 . (D.1) Dabei wurde behauptet, dass die diese Zahl d die Bedingung d n n→∞−→ 1 erfüllt. Die Gültigkeit der Bedingung lässt sich sofort erkennen, wenn man die Gleichung (D.1) durch Ausklammern von n faktorisiert: d = n− n ln(n)−1 = n ( 1− 1 ln(n)−1 ) . Die Division durch n ergibt: d n = 1− 1 ln(n)−1 . (D.2) Lässt man nun in der Differenz auf der rechten Seite dieser Gleichung den Wert n gegen unendlich laufen, so konvergiert der Subtrahend gegen Null und folglich konvergiert der Quotient d n gegen Eins, was zu zeigen war.

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