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Rechnen mit musikalischen Intervallen, Skalen und Stimmungen im historischen Kontext

Walter Bühler

Das interdisziplinär konzipierte Rechenkompendium bietet einen Überblick über die quantitativen Aspekte von musikalischen Intervallen, die im Laufe der Geschichte diskutiert worden sind. Für die mathematische Beschreibung des historischen Materials wird unter den möglichen Modellen bevorzugt das aristoxenische Treppenmodell verwendet, weil es größere Anschaulichkeit mit einem engeren Bezug zu musikalischen Sachverhalten verbindet. Die Betrachtung der diatonischen Struktur und der Notation im Liniensystem führt zunächst auf den Begriff der Stimmung. Der diatonische Algorithmus, der nach Ideen von Leibniz und Henfling mit Kettendifferenzen formuliert wird, garantiert schließlich ein systemübergreifendes Verfahren zur Gewinnung von Stimmungen in konsonanzbasierten Intervallsystemen.
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IV. Regulär strukturierte diatonische Skalen

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§ 19 Reguläre diatonische Feinstruktur

19.1Eine auf der diatonischen Sequenz beruhende Skala wird am einfachsten in der integrierenden Betrachtungsweise (§ 8.2) untersucht. Die Untersuchung wird rechnerisch besonders einfach, wenn man wie im gleichmäßigen Zwölfersystem die Unterschiede zwischen den einzelnen Ganztönen und die Unterschiede zwischen den beiden Halbtönen vernachlässigen darf. Wir sprechen daher von einer regulären diatonischen Struktur, wenn man von gleichgroßen Ganztönen und gleichgroßen Halbtöne ausgeht, aber nicht mehr wie im gleichmäßigen Zwölfersystem die volle Gleichheit T = 2s fordert, sondern sich mit der Näherung T ≈ 2s zufrieden gibt.

19.2Regulär strukturierte Skalen unterscheiden sich dadurch, wie weit die Näherung T ≈ 2s von der Gleichheit T = 2s entfernt ist. Dadurch wird die Differenz T − 2s zu einer interessanten Kennzahl in einer regulären diatonischen Skala, die wir als Quintenkomma bezeichnen. Nach § 17.1 gilt bei einer regulären Feinstruktur für die Oktave A = 5T + 2s. Wegen T − 2s = 6T − A kann das ← 28 | 29 → Quintenkomma deshalb auch als die Differenz 6T − A oder als der Unterschied von sechs Ganztönen und der Oktave definiert werden.

19.3Das Quintenkomma repräsentiert als Kennzahl im Allgemeinen kein Intervall und kann daher auch negative Werte oder den Wert 0 annehmen. Das gleichmäßige Zwölfersystem erweist sich als dasjenige reguläre diatonische System, bei dem das Quintenkomma verschwindet (vgl. § 29.5).

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