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Rechnen mit musikalischen Intervallen, Skalen und Stimmungen im historischen Kontext

Walter Bühler

Das interdisziplinär konzipierte Rechenkompendium bietet einen Überblick über die quantitativen Aspekte von musikalischen Intervallen, die im Laufe der Geschichte diskutiert worden sind. Für die mathematische Beschreibung des historischen Materials wird unter den möglichen Modellen bevorzugt das aristoxenische Treppenmodell verwendet, weil es größere Anschaulichkeit mit einem engeren Bezug zu musikalischen Sachverhalten verbindet. Die Betrachtung der diatonischen Struktur und der Notation im Liniensystem führt zunächst auf den Begriff der Stimmung. Der diatonische Algorithmus, der nach Ideen von Leibniz und Henfling mit Kettendifferenzen formuliert wird, garantiert schließlich ein systemübergreifendes Verfahren zur Gewinnung von Stimmungen in konsonanzbasierten Intervallsystemen.
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VII. Konsonanzbasierte Intervallsysteme und diatonischer Algorithmus

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§ 28 Der Begriff des Intervallsystems

28.1Die Intervallumgebung U() einer Stimmung enthält in der Regel mehr Intervalle als die Stimmung selbst. Dennoch muss man beim Rechnen mit den Intervallen vorsichtig sein: die Summe oder die Differenz von zwei beliebigen Intervallen aus U() muss nicht in jedem Falle wieder in U() liegen. Die Verwendung des Begriffs System beinhaltet dagegen die Vorstellung von einer gewissen Sicherheit, welche unbefangenes Rechnen ermöglicht. Wenn man von einem System von Intervallen spricht, dürfen daher die elementaren Rechenoperationen nicht aus dem System hinaus in einen ganz anderen Bereich führen. Addiert oder subtrahiert man beliebige Intervalle eines Systems, so muss das Resultat auch wieder im System liegen.

28.2Damit jedoch die bisher behandelte musikalische Struktur in einem Intervallsystem wiedergefunden werden kann, müssen wir voraussetzen, dass ein solches System J mindestens eine Stimmung enthält. Deshalb enthält jedes Intervallsystem auch die beiden Zahlen A = S12 für die Oktave und B = S7 für die Quinte. J heißt normiert, wenn wie im gleichmäßigen Zwölfersystem G gilt A = 12.

28.3Intervallsysteme sind jedoch vom Grundsatz her umfangreicher als Stimmungen und ihre Umgebungen. In vielen Systemen gibt es nicht nur eine, sondern sogar mehrere Stimmungen, die jedoch als Auswahlstimmungen unter einheitlichen Gesichtspunkten untersucht werden können.

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